Exercicis de proporcionalitat i interès — Matemàtiques 3r ESO

Directa: x = $\tfrac{(6 \cdot 3)}{2} = 9$ €.

Inversa: quan una magnitud puja, l'altra baixa.

Calculem primer el preu d'una llibreta: $\tfrac{6}{4} = 1{,}5$ €.
Per a 10 llibretes: 10 · 1,5 = 15 €.
Comprovació: 4 llibretes → 6 €; 10 llibretes és 2,5 vegades més, i 6 · 2,5 = 15 €.

25 % = 25/100 = 1/4.
1/4 de 80 = 80 / 4 = 20.

L'augment és el 15 % de 200: 0,15 · 200 = 30 €.
Preu nou: 200 + 30 = 230 €.
Directament: 200 · 1,15 = 230 €.

Calculem el quocient y/x de cada parella: $\tfrac{12}{3} = 4$; $\tfrac{20}{5} = 4$; $\tfrac{32}{8} = 4$.
El quocient és constant, per tant són directament proporcionals.
La constant de proporcionalitat és k = 4 (y = 4x).

L'escala 1:50000 vol dir que 1 cm del mapa són 50000 cm reals.
4 · 50000 = 200000 cm = 2000 m = 2 km.

En la proporcionalitat inversa el producte x · y és constant: 4 · 9 = 36.
Per a x = 6: y = 36 / 6 = 6.
Comprovació: x ha crescut i y ha disminuït, com ha de ser.

Percentatge = (part / total) · 100 = ($\tfrac{18}{72}$) · 100.
$\tfrac{18}{72} = 0{,}25$, per tant el percentatge és el 25 %.

El descompte és 0,30 · 50 = 15 €.
Preu final: 50 - 15 = 35 €.
Directament: pagarem el 70 % del preu, 0,70 · 50 = 35 €.

Directa: x = (400 · 12)/240 = 4800/240 = 20 litres.

Inversa: producte 6 · 10 = 60; x = 60/4 = 15 dies.

Interès: 1500 · 0,02 · 5 = 150 €. Total: 1500 + 150 = 1650 €.

És una proporcionalitat composta directa (més màquines i més hores donen més peces).
Producció per màquina i hora: $\tfrac{360}{(6 \cdot 4)} = 15$ peces.
Ara: 15 · 8 · 6 = 720 peces.

La suma de les parts és 2 + 3 = 5, així que cada part val $\tfrac{120}{5} = 24$ €.
Primer: 2 · 24 = 48 €. Segon: 3 · 24 = 72 €.
Comprovació: 48 + 72 = 120 €.

Total aportat: 10 + 20 + 30 = 60 €. Cada euro aportat dona $\tfrac{1200}{60} = 20$ € de premi.
Reben: 10 · 20 = 200 €, 20 · 20 = 400 € i 30 · 20 = 600 €.
Comprovació: 200 + 400 + 600 = 1200 €.

Primer augment: 200 · 1,10 = 220 €. Segon augment (sobre 220): 220 · 1,10 = 242 €.
Augment total: 1,10 · 1,10 = 1,21, és a dir, un 21 % i no un 20 %.
Error típic: sumar els percentatges, perquè el segon es calcula sobre el preu ja augmentat.

Amb interès simple, cada any es guanya el 3 % del capital inicial: 0,03 · 2000 = 60 € l'any.
En 4 anys: 4 · 60 = 240 €.
Fórmula: I = C · r · t = 2000 · 0,03 · 4 = 240 €.

Cada any el capital es multiplica per 1,04: $C_{f}$ = 2500 · 1,$04^{2}$.
1,$04^{2}$ = 1,0816, per tant $C_{f}$ = 2500 · 1,0816 = 2704 €.
Comprovació: 2500 · 1,04 = 2600 i 2600 · 1,04 = 2704.

Més cabal vol dir menys temps: proporcionalitat inversa.
Capacitat de la cisterna: 20 · 45 = 900 L.
Temps amb 30 L/min: $\tfrac{900}{30} = 30$ minuts.

L'IVA és el 21 % de 80: 0,21 · 80 = 16,80 €.
Preu final: 80 + 16,80 = 96,80 €.
Directament: 80 · 1,21 = 96,80 €.

Directa: x = (7 · 5)/2 = 35/2 = 17,5 km.

Pagues el 80%: preu · 0,80 = 48, per tant preu = 48/0,80 = 60 €.

Cada any es multiplica per 1,10: 1000 · 1,10 · 1,10 = 1210 €.

Després del primer descompte: 80 · 0,75 = 60 €.
Després del segon: 60 · 0,80 = 48 €.
Factor total: 0,75 · 0,80 = 0,60, és a dir, es paga el 60 % del preu: descompte únic del 40 %, no del 45 %.
Comprovació: 80 - 48 = 32 € = 40 % de 80.

És fals.
Factors: pujar un 20 % és multiplicar per 1,2 i baixar un 20 % és multiplicar per 0,8. El factor total és 1,2 · 0,8 = 0,96.
El preu final és el 96 % de l'inicial: ha baixat un 4 %.
Exemple: 100 € → 120 € → 96 €. Els dos percentatges s'apliquen sobre quantitats diferents.

Capital després de n anys: 5000 · 1,$03^{n}$.
n = 1: 5150 €; n = 2: 5304,50 €; n = 3: 5463,64 €; n = 4: 5627,54 €.
Al cap de 3 anys encara no arriba als 5500 € i al cap de 4 sí.
Calen 4 anys.

Més dies si hi ha menys obrers o menys hores: proporcionalitat inversa composta.
Treball total: 12 · 15 · 8 = 1440 hores d'obrer.
Amb 10 obrers i 9 hores diàries es fan 10 · 9 = 90 hores d'obrer per dia.
Dies: $\tfrac{1440}{90} = 16$ dies.

Sigui x els kg del cafè de 6 €/kg; del de 9 €/kg n'hi haurà 40 - x.
El cost total ha de ser 40 · 7,5 = 300 €: 6x + 9(40 - x) = 300.
360 - 3x = 300, d'on x = 20.
Cal posar 20 kg de cada tipus.
Comprovació: 6 · 20 + 9 · 20 = 120 + 180 = 300 €.

Dimensions reals: 5 · 200 = 1000 cm = 10 m i 3 · 200 = 600 cm = 6 m.
Àrea real: 10 · 6 = 60 $m^{2}$.
Error típic: multiplicar l'àrea del plànol (15 cm²) només per 200; l'àrea s'escala amb $200^{2}$ = 40000, i 15 · 40000 = 600000 cm² = 60 $m^{2}$.