Exercicis de funcions lineals i quadràtiques — Matemàtiques 3r ESO

En la forma y = mx + n, el pendent és m = 3 i l'ordenada a l'origen és n = -5.
Com que el pendent és positiu, la funció és creixent.

m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (8 - 2)/(3 - 1) = 6/2 = 3.
Cada cop que x augmenta 1 unitat, y augmenta 3.

A(3, 7): 2·3 + 1 = 7, coincideix amb la y del punt; A pertany a la recta.
B(-1, 2): 2·(-1) + 1 = -1, que no és 2; B no pertany a la recta.

x = -1: y = -2·(-1) + 3 = 5.
x = 0: y = 3.
x = 1: y = -2 + 3 = 1.
x = 2: y = -4 + 3 = -1.
Punts: (-1, 5), (0, 3), (1, 1), (2, -1). La y disminueix 2 unitats cada cop que la x augmenta 1, com indica el pendent -2.

Amb l'eix OY: x = 0, y = -6. Punt (0, -6).
Amb l'eix OX: y = 0, 2x - 6 = 0, x = 3. Punt (3, 0).

El signe del pendent decideix.
a) m = -4 < 0: decreixent.
b) m = 0,5 > 0: creixent.
c) m = 0: constant (recta horitzontal).

L'abscissa del vèrtex és x = -b/(2a) = 6/2 = 3.
L'ordenada: y = 3² - 6·3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.
Vèrtex: (3, -4). Com que a = 1 > 0, la paràbola s'obre cap amunt i el vèrtex és un mínim.

El signe de a diu cap a on s'obre; el terme independent c és l'ordenada del punt de tall amb OY.
a) a = 1 > 0: s'obre cap amunt. Talla OY a (0, -7).
b) a = -2 < 0: s'obre cap avall. Talla OY a (0, 3).

L'eix de simetria és la recta vertical que passa pel vèrtex, d'equació x = -b/(2a).
x = 8/2 = 4.
L'eix de simetria és x = 4.

f(-2) = (-2)² - 3·(-2) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11.
f(3) = 3² - 3·3 + 1 = 9 - 9 + 1 = 1.
Error típic: oblidar els parèntesis i calcular -2² = -4.

Pendent: m = (7 - 3)/(3 - 1) = 4/2 = 2.
Recta: y = 2x + n. Substituïm el punt (1, 3): 3 = 2·1 + n, n = 1.
Equació: y = 2x + 1.
Comprovació amb l'altre punt: 2·3 + 1 = 7.

Recta: y = -3x + n. Substituïm el punt (2, 1): 1 = -3·2 + n, n = 7.
Equació: y = -3x + 7.
Comprovació: -3·2 + 7 = 1.

Les rectes paral·leles tenen el mateix pendent, així que m = 4 i y = 4x + n.
Substituïm (2, 5): 5 = 8 + n, n = -3.
Equació: y = 4x - 3.
Comprovació: 4·2 - 3 = 5.

Amb OY: x = 0, y = -5. Punt (0, -5).
Amb OX: y = 0, x² - 4x - 5 = 0. Δ = 16 + 20 = 36, x = (4 ± 6)/2, d'on x = 5 i x = -1.
Punts: (-1, 0) i (5, 0).

Vèrtex: x = 2/2 = 1; y = 1 - 2 - 3 = -4. Vèrtex (1, -4); eix de simetria x = 1.
Talls amb OY: (0, -3).
Talls amb OX: x² - 2x - 3 = 0, x = (2 ± 4)/2, d'on x = 3 i x = -1. Punts (-1, 0) i (3, 0).
S'obre cap amunt (a = 1) i el vèrtex queda just entre els dos talls amb OX, com és d'esperar per la simetria.

Funció: y = 1,2x + 2,5 (x en km, y en €).
Per a 15 km: y = 1,2·15 + 2,5 = 18 + 2,5 = 20,5 €.
Per a 32,5 €: 1,2x + 2,5 = 32,5, 1,2x = 30, x = 25 km.

Al punt de tall les dues y són iguals: 2x + 1 = -x + 7.
3x = 6, x = 2. Llavors y = 2·2 + 1 = 5.
Punt de tall: (2, 5).
Comprovació: -2 + 7 = 5.

Aïllem la y de la segona: y = 3x + 4.
Les dues tenen pendent 3, però ordenades a l'origen diferents (2 i 4).
Són paral·leles (no coincidents): mai no es tallen.

Aïllem y: 3y = -2x + 12, y = (-$\tfrac{2}{3}$)x + 4. Pendent m = -$\tfrac{2}{3}$ i ordenada a l'origen 4.
Tall amb OY (x = 0): (0, 4).
Tall amb OX (y = 0): 2x = 12, x = 6. Punt (6, 0).

Vèrtex: x = -4/(2·(-1)) = 2; y = -4 + 8 = 4. Vèrtex (2, 4).
Talls amb OX: -$x^{2}$ + 4x = 0, -x(x - 4) = 0, x = 0 o x = 4. Punts (0, 0) i (4, 0).
Com que a = -1 < 0, la paràbola s'obre cap avall i el vèrtex és un màxim.

Quan x augmenta 1, y augmenta sempre 3 (7 - 4 = 10 - 7 = 13 - 10 = 3): el pendent és constant, per tant és una funció lineal amb m = 3.
Per a x = 0, y = 4, així que n = 4.
Equació: y = 3x + 4.

Pendent: m = $\tfrac{(-1 - 5)}{(4 + 2)}$ = -1. Recta: y = -x + n; amb (4, -1): -1 = -4 + n, n = 3. Equació: y = -x + 3.
Talls: amb OY (0, 3); amb OX, -x + 3 = 0, (3, 0).
El triangle és rectangle amb catets 3 i 3: àrea = 3·$\tfrac{3}{2} = 4{,}5$ $u^{2}$.

Amb el vèrtex coneixem la forma y = a(x - 1)² - 4.
Substituïm (0, -3): -3 = a·1 - 4, per tant a = 1.
y = (x - 1)² - 4 = x² - 2x + 1 - 4 = x² - 2x - 3.
Comprovació: el vèrtex és x = 2/2 = 1, y = 1 - 2 - 3 = -4.

El semiperímetre és 20 m, així que els costats són x i 20 - x.
Àrea: A(x) = x(20 - x) = -$x^{2}$ + 20x, una paràbola oberta cap avall.
El màxim és al vèrtex: x = -20/(2·(-1)) = 10 m.
Dimensions: 10 m × 10 m (un quadrat) i àrea màxima A(10) = 100 $m^{2}$.

A: y = 10 + 0,05x. B: y = 4 + 0,15x (x = minuts al mes).
Igualem: 10 + 0,05x = 4 + 0,15x, 6 = 0,10x, x = 60 minuts (cost de 13 € amb les dues).
Per a x < 60, la B és més barata (menys quota fixa). Per a x > 60, la A és més barata, perquè el seu pendent (preu per minut) és menor.
Compensa la tarifa A a partir de més de 60 minuts al mes.

El pendent és m - 1.
a) Paral·lela a y = 2x: m - 1 = 2, m = 3.
b) Passa per (2, 7): 7 = (m - 1)·2 + 3, 2(m - 1) = 4, m = 3.
c) Decreixent: m - 1 < 0, és a dir m < 1.

Igualem les dues expressions: x² = x + 2, és a dir x² - x - 2 = 0.
Δ = 1 + 8 = 9, x = (1 ± 3)/2, d'on x = 2 i x = -1.
Si x = 2, y = 4. Si x = -1, y = 1.
Punts d'intersecció: (2, 4) i (-1, 1).

Altura màxima al vèrtex: t = -20/(2·(-5)) = 2 s. h(2) = -20 + 40 + 25 = 45 m.
Arriba a l'aigua quan h = 0: -5t² + 20t + 25 = 0, $t^{2}$ - 4t - 5 = 0, t = $\tfrac{(4 \pm 6)}{2}$, d'on t = 5 o t = -1.
El temps no pot ser negatiu: arriba a l'aigua als 5 s.
Resum: altura màxima 45 m als 2 s; impacte als 5 s.

És fals. Els punts de tall amb OX són les solucions de $x^{2}$ + bx + c = 0, i el nombre de solucions depèn del discriminant Δ = $b^{2}$ - 4c: dos punts si Δ > 0, un si Δ = 0 i cap si Δ < 0.
Exemple: y = $x^{2}$ + 1 té Δ = -4 < 0; el vèrtex és (0, 1), obre cap amunt i per tant mai no arriba a y = 0.

Si són alineats, el pendent AB és igual que el pendent BC.
$m_{AB}$ = $\tfrac{(6 - 2)}{(3 - 1)} = 2$. $m_{BC}$ = $\tfrac{(k - 6)}{(5 - 3)}$ = $\tfrac{(k - 6)}{2}$.
Igualem: $\tfrac{(k - 6)}{2} = 2$, k - 6 = 4, k = 10.
Recta: y = 2x + n; amb A(1, 2): n = 0. Equació: y = 2x.
Comprovació: 2·5 = 10.