Exercicis de funcions — Matemàtiques 3r ESO

y = 2 · 5 = 10.

Substituïm cada valor de x a l'expressió:
x = -1: y = 3 · (-1) - 1 = -4. x = 0: y = -1. x = 1: y = 2. x = 2: y = 5.
Els punts són (-1, -4), (0, -1), (1, 2) i (2, 5).

En una recta y = mx + n, m és el pendent i n l'ordenada a l'origen.
Aquí m = -2 i n = 5.
Com que el pendent és negatiu, la funció és decreixent.

Substituïm x = 2 a la fórmula: y = 3 · 2 + 1 = 7.
El valor obtingut coincideix amb l'ordenada del punt, així que (2, 7) pertany a la gràfica.

És una funció constant: sempre dona el mateix valor, 4, sigui quina sigui la x.
La seva gràfica és una recta horitzontal i el pendent és 0.
Per a x = -10 també es té y = 4.

Al tall amb l'eix Y es compleix x = 0.
y = 2 · 0 - 6 = -6.
El punt de tall és (0, -6), que coincideix amb l'ordenada a l'origen.

Sobre l'eix d'abscisses (eix X) es compleix y = 0: -3x + 12 = 0.
3x = 12, per tant x = 4.
El punt de tall és (4, 0).

El pendent és m = -3 < 0.
Una recta amb pendent negatiu baixa quan x augmenta: la funció és decreixent.
Comprovació: x = 0 dona y = 1 i x = 1 dona y = -2, que és més petit.

Una fracció no es pot calcular quan el denominador és zero.
x - 2 = 0 quan x = 2.
Per tant la funció no està definida per a x = 2 (el seu domini són tots els reals menys el 2).

m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (8 - 2)/(3 - 1) = 6/2 = 3.
El pendent és 3: la recta puja 3 unitats per cada unitat que avança en horitzontal.

(0,2), (1,3), (2,4) i (3,5).

Un màxim (el punt més alt).

A l'altura 6 (l'ordenada a l'origen és 6).

y = 5 · 2 - 3 = 7.

El pendent és m = (5 - (-1))/(2 - 0) = 6/2 = 3.
El punt (0, -1) ens dona l'ordenada a l'origen: n = -1.
L'equació és y = 3x - 1.
Comprovació: per a x = 2, y = 3 · 2 - 1 = 5.

Hi ha una quantitat fixa (2,50 €) i una de variable (1,20 € per km): y = 2,5 + 1,2x.
Per a x = 15: y = 2,5 + 1,2 · 15 = 2,5 + 18 = 20,50 €.
És una funció afí amb pendent 1,2 i ordenada a l'origen 2,5.

En el punt de tall les dues y són iguals: 2x + 1 = -x + 7.
3x = 6, per tant x = 2. Llavors y = 2 · 2 + 1 = 5.
El punt de tall és (2, 5).
Comprovació a l'altra recta: -2 + 7 = 5.

L'abscissa del vèrtex és x = -b/(2a) = 6/2 = 3.
L'ordenada: y = 3² - 6 · 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4. El vèrtex és (3, -4).
Com que a = 1 > 0, la paràbola s'obre cap amunt i el vèrtex és un mínim.

Entre 0 h i 2 h recorre 120 km en 2 h: velocitat $\tfrac{120}{2} = 60$ km/h (constant, 60 km cada hora).
Entre 2 h i 3 h només avança 30 km: va més a poc a poc (30 km/h).
Entre 3 h i 4 h la distància no canvia (150 km): està aturat i la funció és constant.

Es pot calcular $x^{2}$ + 1 per a qualsevol nombre real: el domini és tots els reals.
Com que $x^{2}$ ≥ 0, es té y ≥ 1, i el valor 1 s'assoleix a x = 0.
El recorregut són tots els valors y ≥ 1.

Les rectes paral·leles tenen el mateix pendent: m = 2.
Passa per (0, -4), de manera que l'ordenada a l'origen és n = -4.
L'equació és y = 2x - 4.

7 = 2x - 1, 2x = 8, x = 4.

El màxim és al migdia (punt més alt). El tall amb l'eix vertical és la temperatura a l'hora inicial (x = 0).

Ordenada a l'origen 2 i pendent 3: y = 3x + 2.

Costos: A = 10 + 0,05x; B = 0,15x, amb x els minuts.
Igualem: 10 + 0,05x = 0,15x, d'on 10 = 0,10x i x = 100 minuts (cost 15 € en els dos casos).
Per a x > 100, la tarifa B és més cara que la A.
Per tant, A surt més a compte quan es parla més de 100 minuts al mes.
Comprovació amb 200 min: A = 20 €, B = 30 €.

La funció és una paràbola amb a = -1 < 0, per tant té un màxim al vèrtex: t = -$\tfrac{b}{(2a)}$ = -$\tfrac{4}{(-2)} = 2$ s.
Altura màxima: h(2) = -4 + 8 = 4 m.
Torna a terra quan h = 0: -$t^{2}$ + 4t = 0, t(4 - t) = 0, t = 0 (llançament) o t = 4 s.
Resposta: màxim als 2 s (4 m) i toca a terra als 4 s.

Substituïm el punt: 9 = k · 2 + 3, per tant 2k = 6 i k = 3.
La recta és y = 3x + 3.
Tall amb l'eix X (y = 0): 3x + 3 = 0, x = -1. El punt és (-1, 0).

x = -1 és menor que 2: fem servir x + 1 → f(-1) = 0.
x = 2 compleix x ≥ 2: fem servir 5 - x → f(2) = 3.
x = 5 també usa el segon tros: f(5) = 0.
Atenció: en x = 2 cal usar el tros que inclou la igualtat (x ≥ 2).

En una proporcionalitat directa, si la x es multiplica per un nombre, la y es multiplica pel mateix nombre, i la gràfica passa per l'origen.
Aquí x = 1 dona y = 5, però x = 2 (el doble) dona y = 7, que no és el doble de 5. A més, f(0) = 3 ≠ 0.
Per tant no és de proporcionalitat directa: és una funció afí. Només ho seria y = 2x.

Nivell inicial 120 i baixada de 4 per minut: h(t) = 120 - 4t.
t = 12: h = 120 - 48 = 72 cm.
Buida quan h = 0: 120 - 4t = 0, t = 30 minuts.
Dins del context només té sentit 0 ≤ t ≤ 30, que és el domini.