Exercicis d'estadística descriptiva — Matemàtiques 3r ESO

(2 + 4 + 6)/3 = 12/3 = 4.

3 (és el valor que més es repeteix).

La mitjana és la suma de les dades dividida pel nombre de dades.
Suma: 7 + 9 + 4 + 6 + 9 = 35.
Mitjana = 35/5 = 7 anys.

Primer cal ordenar les dades de menor a major: 3, 5, 8, 9, 10, 12, 15.
Hi ha 7 dades (nombre senar), així que la mediana és la del mig, la quarta: 9.
Error típic: agafar la dada del mig sense haver ordenat la llista abans.

Ordenem: 2, 4, 6, 8, 10, 12.
Hi ha 6 dades (nombre parell), així que hi ha dues dades centrals: 6 i 8.
La mediana és la seva mitjana: $\tfrac{(6 + 8)}{2} = 7$.

La moda és el valor que més es repeteix: el 7 apareix 3 vegades (el 5 i el 6, 2 cops cadascun). Moda = 7.
El recorregut és la diferència entre la dada més gran i la més petita: 9 - 5 = 4.

a) Color dels ulls: qualitativa (és una qualitat, no un nombre).
b) Nombre de germans: quantitativa discreta (només pren valors enters: 0, 1, 2…).
c) Alçada: quantitativa contínua (pot prendre qualsevol valor dins d'un interval, com 163,4 cm).
d) Llengua que parles a casa: qualitativa.

Comptem quantes vegades surt cada valor:
0 germans: 4 alumnes
1 germà: 9 alumnes
2 germans: 5 alumnes
3 germans: 2 alumnes
Comprovació: 4 + 9 + 5 + 2 = 20, que és el total d'alumnes.

La freqüència relativa és la freqüència absoluta dividida pel total: $\tfrac{14}{40} = 0{,}35$.
En percentatge: 0,35 · 100 = 35 %.

El sector és proporcional a la freqüència: angle = ($\tfrac{12}{45}$) · 360° = 96°.
Comprovació: el cercle complet són 360° i $\tfrac{12}{45}$ és una mica més d'una quarta part (90°), com correspon a 96°.

$\tfrac{20}{50} = 0{,}4$, és a dir el 40%.

El valor central (el 3r de 5) és 7.

(10 + 20 + 30 + 40)/4 = 100/4 = 25.

La marca de classe és el punt mitjà de cada interval (extrem inferior més extrem superior, dividit per 2).
Taula:
[150, 160): marca 155, freqüència 3
[160, 170): marca 165, freqüència 8
[170, 180): marca 175, freqüència 6
[180, 190): marca 185, freqüència 3
Total de dades: 3 + 8 + 6 + 3 = 20.
Mitjana ponderada (cada marca multiplicada per la seva freqüència, sumat i dividit pel total):
(3·155 + 8·165 + 6·175 + 3·185)/20 = (465 + 1320 + 1050 + 555)/20 = 3390/20 = 169,5 cm.
Classe modal: la de major freqüència, que és [160, 170) amb 8 alumnes.

10 - 10 = 0: totes les dades són iguals, no hi ha dispersió.

Total de jugadors: 3 + 5 + 8 + 6 + 2 = 24.
Mitjana = (0·3 + 1·5 + 2·8 + 3·6 + 4·2)/24 = (0 + 5 + 16 + 18 + 8)/24 = 47/24 = 1,96 punts.
Moda: el valor amb més freqüència és 2 punts (8 jugadors).
Mediana: amb 24 dades, les centrals són la 12a i la 13a. Les freqüències acumulades són 3, 8, 16…, així que totes dues són 2. Mediana = 2 punts.

Si la mitjana de 5 notes és 6,4, la suma de les cinc és 5 · 6,4 = 32.
Les quatre conegudes sumen 5 + 7 + 6 + 8 = 26.
La cinquena nota és 32 - 26 = 6.
Comprovació: (5 + 7 + 6 + 8 + 6)/5 = 32/5 = 6,4.

Mitjana = (1200 + 1300 + 1250 + 1350 + 6000)/5 = 11100/5 = 2220 €.
Mediana: ordenem 1200, 1250, 1300, 1350, 6000 i agafem la del mig: 1300 €.
El sou de 6000 € és molt diferent dels altres i estira la mitjana cap amunt. La mediana (1300 €) representa millor el sou típic, perquè gairebé no es veu afectada per valors extrems.

Total: 6 + 10 + 9 + 5 = 30 alumnes.
Freq. relativa: A = 6/30 = 20 %; B = 10/30 = 33,3 %; C = 9/30 = 30 %; D = 5/30 = 16,7 %.
Freq. absoluta acumulada: A = 6; B = 6 + 10 = 16; C = 16 + 9 = 25; D = 25 + 5 = 30.
Comprovació: els percentatges sumen 100 % i l'última acumulada és el total, 30.

Les marques de classe són els punts mitjans dels intervals: 5, 15, 25 i 35.
Mitjana = (5·3 + 15·9 + 25·12 + 35·6)/30 = (15 + 135 + 300 + 210)/30 = 660/30 = 22 minuts.
Recorda que, en dades agrupades, la mitjana és una aproximació perquè fem servir la marca de classe en lloc de cada dada.

No en té. Per trobar la mediana primer s'han d'ordenar les dades: 2, 4, 6, 8, 9.
Hi ha 5 dades, així que la mediana és la tercera: 6.
L'alumne ha agafat la dada del mig de la llista sense ordenar (el 9).

Marca de classe = punt mitjà de l'interval. Freqüència relativa = freqüència absoluta dividida pel total (25). Freqüència acumulada = anar sumant les absolutes.
Taula completa:
[10, 20): marca 15, freq 4, relativa 4/25 = 0,16, acumulada 4
[20, 30): marca 25, freq 7, relativa 7/25 = 0,28, acumulada 11
[30, 40): marca 35, freq 9, relativa 9/25 = 0,36, acumulada 20
[40, 50): marca 45, freq 5, relativa 5/25 = 0,20, acumulada 25
Mitjana ponderada:
(4·15 + 7·25 + 9·35 + 5·45)/25 = (60 + 175 + 315 + 225)/25 = 775/25 = 31 minuts.
Classe modal: la de major freqüència, [30, 40) amb 9 persones.
Classe mediana: la mediana ocupa la posició central, 25/2 = 12,5. Miro la freqüència acumulada: al segon interval arriba a 11 (encara no) i al tercer arriba a 20 (ja passa de 12,5). Per tant la mediana cau a la classe [30, 40).

El de recorregut 2: les seves puntuacions estan més juntes, és més regular.

Marca de classe = punt mitjà de cada interval: 25, 35, 45 i 55.
Pas 1. Mitjana ponderada:
(5·25 + 8·35 + 4·45 + 3·55)/20 = (125 + 280 + 180 + 165)/20 = 750/20 = 37,5 anys.
Pas 2. Per a cada marca, calculo la distància a la mitjana, l'elevo al quadrat i la multiplico per la freqüència:
25 - 37,5 = -12,5, al quadrat 156,25, per 5 dona 781,25.
35 - 37,5 = -2,5, al quadrat 6,25, per 8 dona 50.
45 - 37,5 = 7,5, al quadrat 56,25, per 4 dona 225.
55 - 37,5 = 17,5, al quadrat 306,25, per 3 dona 918,75.
Pas 3. Variància = suma d'aquests valors dividida pel total de dades:
(781,25 + 50 + 225 + 918,75)/20 = 1975/20 = 98,75.
Pas 4. Desviació típica = arrel quadrada de la variància:
σ = √98,75 ≈ 9,94 anys.
Interpretació: de mitjana, les edats s'allunyen uns 9,94 anys de l'edat mitjana (37,5 anys).

La suma de freqüències és 40: 6 + x + 12 + 8 + y = 40, per tant x + y = 14.
Mitjana: (1·6 + 2x + 3·12 + 4·8 + 5y)/40 = 3,15, és a dir 6 + 2x + 36 + 32 + 5y = 126, d'on 2x + 5y = 52.
De la primera equació, x = 14 - y. Substituint: 2(14 - y) + 5y = 52, 28 + 3y = 52, y = 8 i x = 6.
Comprovació: (6 + 12 + 36 + 32 + 40)/40 = 126/40 = 3,15.

Mitjana = (4 + 7 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10 + 10)/8 = 64/8 = 8.
Desviacions respecte a la mitjana: -4, -1, -1, 0, 1, 1, 2, 2. Els seus quadrats: 16, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 4, que sumen 28.
Variància = 28/8 = 3,5.
Desviació típica = √3,5 = 1,87.

Mitjana de A = 42/6 = 7. Mitjana de B = 42/6 = 7.
Classe A: desviacions -2, -1, 0, 0, 1, 2; quadrats 4, 1, 0, 0, 1, 4 (suma 10). Variància = 10/6 = 1,67; desviació típica = 1,29.
Classe B: desviacions -4, -2, 0, 0, 2, 4; quadrats 16, 4, 0, 0, 4, 16 (suma 40). Variància = 40/6 = 6,67; desviació típica = 2,58.
Amb la mateixa mitjana, la classe A té menys dispersió, així que és més homogènia: les seves notes estan més a prop de la mitjana.

Freq. absolutes acumulades: 4, 4 + 9 = 13, 13 + 12 = 25, 25 + 5 = 30.
Amb 30 dades, la mediana és la mitjana de la 15a i la 16a. Com que fins a 20 minuts només n'hi ha 13, aquestes dues dades són a [20, 30). La classe mediana és [20, 30).
Menys de 20 minuts: 13 persones, és a dir $\tfrac{13}{30} = 43{,}3$ %.

La suma de les notes del primer grup és 12 · 6,5 = 78 i la del segon, 18 · 7,5 = 135.
Mitjana global = (78 + 135)/30 = 213/30 = 7,1.
No es pot fer simplement (6,5 + 7,5)/2 = 7, perquè els grups tenen diferent nombre d'alumnes: el grup de 18 pesa més i la mitjana global s'acosta més a 7,5. Cal fer una mitjana ponderada.

Sumar 5 a totes les dades les desplaça totes igual, però no n'altera la dispersió: mitjana 13, mediana 12, recorregut 10 i desviació típica 2.
Multiplicar per 3 amplia l'escala: mitjana 24, mediana 21, recorregut 30 i desviació típica 6.
Idea clau: les mesures de centralització segueixen la transformació de les dades; les de dispersió no canvien en sumar i es multipliquen pel factor (en valor absolut) en multiplicar.