Exercicis de probabilitat — Matemàtiques 3r ESO

Anotem el resultat del primer llançament i després el del segon: CC, CX, XC, XX.
L'espai mostral és E = {CC, CX, XC, XX} i té 4 resultats.
Atenció: CX i XC són resultats diferents, perquè importa l'ordre.

Casos possibles: 8. Casos favorables: els múltiples de 3 entre 1 i 8 són 3 i 6, és a dir, 2.
Per la regla de Laplace: P = 2/8 = 1/4 = 0,25.

Els nombres primers entre 1 i 12 són 2, 3, 5, 7 i 11 (l'1 no ho és): 5 casos favorables.
P = 5/12 ≈ 0,417.

«No ploure» és el succés contrari de «ploure». Per tant: P(no ploure) = 1 - P(ploure) = 1 - 0,35 = 0,65.
És a dir, un 65 %.

a) Segur: totes les boles són vermelles (probabilitat 1).
b) Impossible: no hi ha cap bola blava (probabilitat 0).
c) Segur: una bola vermella ja compleix «vermella o blava» (probabilitat 1).
Cap dels tres és simplement «possible», perquè la bossa només té un color.

Freqüència relativa de cara = 108/200 = 0,54.
La probabilitat teòrica d'una moneda equilibrada és 1/2 = 0,5.
La diferència és petita (0,04); és normal, i amb més llançaments la freqüència relativa s'acostaria a 0,5.

Cartes de copes: 10, així que P(copes) = 10/40 = 1/4.
Figures: 3 per pal · 4 pals = 12, així que P(figura) = 12/40 = 3/10 = 0,3.

Múltiples de 7 entre 1 i 50: 7, 14, 21, 28, 35, 42 i 49, és a dir, 7 casos favorables.
P = 7/50 = 0,14.

Cada dau té 6 resultats, per tant hi ha 6 · 6 = 36 parelles possibles.
Suma 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), és a dir 6 maneres.
P(suma 7) = 6/36 = 1/6.

Nois: 25 - 15 = 10.
P(noi) = 10/25 = 2/5 = 0,4.
Comprovació: P(noia) = 15/25 = 0,6 i 0,6 + 0,4 = 1.

«Treure senar», és a dir {1, 3, 5}.

Segur (sempre passa).

A la probabilitat real (llei dels grans nombres).

Laplace: tots els resultats són igual de probables.

A = {2, 4, 6} i B = {3, 6}.
A ∪ B = {2, 3, 4, 6}: P = 4/6 = 2/3.
A ∩ B = {6}: P = 1/6.
Comprovació amb la fórmula: P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,5 + 0,4 - 0,2 = 0,7.
«Ni A ni B» és el contrari de «A o B»: 1 - 0,7 = 0,3.

Com que hi ha reposició, les probabilitats no canvien: P(V) = 3/5 i P(B) = 2/5 a cada extracció.
P(V i V) = 3/5 · 3/5 = 9/25.
P(B i B) = 2/5 · 2/5 = 4/25.
Mateix color: 9/25 + 4/25 = 13/25 = 0,52.

Sense reposició, la composició canvia després de la primera extracció.
P(V i després B) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10.
P(B i després V) = 2/5 · 3/4 = 6/20 = 3/10.
Colors diferents: 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6.

Només música: 24 - 10 = 14 alumnes, així que P = 14/60 = 7/30 ≈ 0,233.
Fan almenys una activitat: 36 + 24 - 10 = 50 (no s'ha de comptar dues vegades els 10 que fan les dues).
No en fan cap: 60 - 50 = 10, així que P = 10/60 = 1/6 ≈ 0,167.

Amb repetició: 10 · 10 · 10 = 1000 codis possibles, així que P = 1/1000 = 0,001.
Sense repetició: 10 · 9 · 8 = 720 codis possibles, així que P = 1/720 ≈ 0,0014.
Quan el codi ha de tenir xifres diferents hi ha menys possibilitats i la probabilitat d'encertar és una mica més gran.

La suma de les probabilitats de tots els resultats elementals és 1: 0,15 + 0,35 + 0,30 + x = 1, per tant x = 1 - 0,80 = 0,20.
Vermell i blau són incompatibles, així que P(vermell o blau) = 0,15 + 0,35 = 0,50.

Un rei de cada pal: 4 resultats (el rei d'oros, de copes, d'espases i de bastos).

Favorables: 2. Possibles: 3 + 2 + 5 = 10. P(groga) = 2/10 = 1/5.

Freqüència relativa: $\tfrac{90}{300} = 0{,}3$. En un dau just seria $\tfrac{1}{6} = 0{,}17$. El dau està trucat a favor del 6.

Hi ha 36 parelles possibles.
a) Suma 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4; suma 10: (4,6), (5,5), (6,4) → 3; suma 11: (5,6), (6,5) → 2; suma 12: (6,6) → 1. Total 10 casos: P = 10/36 = 5/18 ≈ 0,278.
b) Millor calcular el contrari: el producte és senar només si els dos resultats són senars: 3 · 3 = 9 parelles. P(senar) = 9/36 = 1/4, així que P(parell) = 1 - 1/4 = 3/4.

L'espai mostral té 2 · 2 · 2 = 8 resultats: CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX.
Exactament dues cares: CCX, CXC, XCC → P = 3/8.
Almenys una creu és el contrari de «cap creu», és a dir, de CCC: P = 1 - 1/8 = 7/8.

Tres verdes: P = 6/10 · 5/9 · 4/8 = 120/720 = 1/6.
«Almenys una vermella» és el succés contrari de «cap vermella» (les tres verdes): P = 1 - 1/6 = 5/6 ≈ 0,833.
Fixa't que a cada extracció es redueix en 1 tant el nombre de verdes com el total de boles.

No és possible. Si A i B són incompatibles, no poden passar alhora, i llavors P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,6 + 0,7 = 1,3.
Però cap probabilitat pot superar 1. Per tant, aquests dos successos no poden ser incompatibles: han de compartir resultats, amb P(A ∩ B) ≥ 0,3.

Vermelles: 2/5 de 30 = 12. Blaves: 1/3 de 30 = 10.
Verdes: 30 - 12 - 10 = 8.
Comprovació: P(verda) = 8/30 = 4/15 i 2/5 + 1/3 + 4/15 = 6/15 + 5/15 + 4/15 = 1.

Tots dos: 0,8 · 0,7 = 0,56.
Almenys un: contrari de suspendre'ls tots dos, que és (1 - 0,8) · (1 - 0,7) = 0,2 · 0,3 = 0,06. Per tant 1 - 0,06 = 0,94.
Exactament un: aprova el primer i suspèn el segon (0,8 · 0,3 = 0,24) o a l'inrevés (0,2 · 0,7 = 0,14): 0,24 + 0,14 = 0,38.
Comprovació: 0,56 + 0,38 + 0,06 = 1.