Exercicis de cossos geomètrics: àrees i volums — Matemàtiques 3r ESO

Aquesta pàgina recull exercicis d'àrees i volums de cossos geomètrics de 3r d'ESO, tots amb la solució pas a pas. Començaràs amb prismes i cilindres, que són els més directes, i continuaràs amb piràmides i cons, on cal calcular l'apotema o la generatriu amb el teorema de Pitàgores. Després treballaràs l'esfera, els troncs de piràmide i de con, i els problemes de capacitat amb canvis d'unitat entre cm³, dm³, m³ i litres. Al final hi ha exercicis avançats que combinen cossos i et fan raonar sobre com varien l'àrea i el volum quan es canvia l'escala. Errors típics: confondre l'altura amb l'apotema o la generatriu, oblidar el factor 1/3 en piràmides i cons, i equivocar-te en passar de m³ a litres.

Nivell bàsic

Exercici 1

Calcula l'àrea total i el volum d'un cub d'aresta 5 cm.

Mostra la solució

El cub té 6 cares quadrades de costat 5 cm.
Àrea total = 6 · $5^{2}$ = 6 · 25 = 150 cm².
Volum = $5^{3}$ = 125 cm³.

Exercici 2

Una caixa té forma de prisma rectangular de 8 cm × 5 cm × 3 cm. Calcula'n el volum i l'àrea total.

Mostra la solució

Volum = 8 · 5 · 3 = 120 cm³.
Àrea total = 2(8·5 + 8·3 + 5·3) = 2(40 + 24 + 15) = 2 · 79 = 158 cm².

Exercici 3

Calcula el volum d'un cilindre de radi 3 cm i altura 10 cm (fes servir π = 3,14).

Mostra la solució

V = π · $r^{2}$ · h = 3,14 · $3^{2}$ · 10 = 3,14 · 90 = 282,6 cm³.
En funció de π, el volum és 90π cm³.

Exercici 4

Calcula l'àrea lateral d'un cilindre de radi 4 dm i altura 7 dm (π = 3,14).

Mostra la solució

L'àrea lateral és un rectangle de base la circumferència (2πr) i altura h: A = 2π · r · h = 2 · 3,14 · 4 · 7 = 175,84 dm².

Exercici 5

Calcula el volum d'un con de radi 3 cm i altura 4 cm (π = 3,14).

Mostra la solució

V = ( $\tfrac{1}{3}$ ) · π · $r^{2}$ · h = ( $\tfrac{1}{3}$ ) · 3,14 · 9 · 4 = $\tfrac{(3{,}14 \cdot 36)}{3} = 37{,}68$ cm³.
Error típic: oblidar el factor $\tfrac{1}{3}$ .

Exercici 6

Calcula el volum d'una esfera de radi 3 cm (π = 3,14).

Mostra la solució

V = ( $\tfrac{4}{3}$ ) · π · $r^{3}$ = ( $\tfrac{4}{3}$ ) · 3,14 · 27 = 4 · 3,14 · 9 = 113,04 cm³.

Exercici 7

Calcula el volum d'una piràmide de base quadrada de costat 6 cm i altura 5 cm.

Mostra la solució

Àrea de la base = $6^{2}$ = 36 cm².
V = ( $\tfrac{1}{3}$ ) · $A_{base}$ · h = ( $\tfrac{1}{3}$ ) · 36 · 5 = 60 cm³.

Exercici 8

Fes aquests canvis d'unitat: a) 3,5 L a cm³; b) 2 $m^{3}$ a litres; c) 750 cm³ a litres.

Mostra la solució

Recorda que 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³ i 1 m³ = 1000 dm³.
a) 3,5 L = 3,5 · 1000 = 3500 cm³.
b) 2 m³ = 2000 dm³ = 2000 L.
c) 750 cm³ = 750/1000 = 0,75 L.

Exercici 9

Calcula l'àrea de la superfície d'una esfera de radi 5 cm (π = 3,14).

Mostra la solució

A = 4 · π · $r^{2}$ = 4 · 3,14 · 25 = 314 cm².

Exercici 10

Un prisma de base triangular té 5 cares, 6 vèrtexs i 9 arestes. Comprova que compleix la fórmula d'Euler per als poliedres convexos: cares + vèrtexs = arestes + 2.

Mostra la solució

Cares + vèrtexs = 5 + 6 = 11.
Arestes + 2 = 9 + 2 = 11.
Els dos membres coincideixen, per tant la fórmula d'Euler es compleix.

Nivell intermedi

Exercici 11

Un prisma recte té per base un triangle rectangle de catets 3 cm i 4 cm, i altura 10 cm. Calcula'n el volum i l'àrea total.

Mostra la solució

Hipotenusa de la base: √(3² + 4²) = √25 = 5 cm.
Àrea de la base = 3·4/2 = 6 cm². Volum = 6 · 10 = 60 cm³.
Àrea lateral = perímetre de la base · altura = (3 + 4 + 5) · 10 = 120 cm².
Àrea total = 120 + 2 · 6 = 132 cm².

Exercici 12

Calcula l'àrea total d'un cilindre de radi 5 cm i altura 12 cm (π = 3,14).

Mostra la solució

$A_{total}$ = 2πr(r + h) = 2 · 3,14 · 5 · (5 + 12) = 31,4 · 17 = 533,8 cm².
Són l'àrea lateral (2πrh) més les dues bases (2πr²).

Exercici 13

Un con té radi de la base 6 cm i altura 8 cm. Calcula la generatriu, l'àrea lateral i l'àrea total (π = 3,14).

Mostra la solució

Generatriu: g = √(r² + h²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
Àrea lateral = π · r · g = 3,14 · 6 · 10 = 188,4 cm².
Àrea de la base = π · r² = 3,14 · 36 = 113,04 cm².
Àrea total = 188,4 + 113,04 = 301,44 cm².

Exercici 14

Una piràmide regular té per base un quadrat de costat 10 cm i una altura de 12 cm. Calcula l'apotema de la piràmide, l'àrea total i el volum.

Mostra la solució

L'apotema de la base és la meitat del costat: 5 cm. L'apotema de la piràmide (altura d'una cara lateral) és a = √(12² + 5²) = √169 = 13 cm.
Àrea lateral = 4 cares triangulars = 4 · (10 · 13)/2 = 260 cm².
Àrea total = 260 + 10² = 360 cm².
Volum = (1/3) · 100 · 12 = 400 cm³.

Exercici 15

Un dipòsit cilíndric té 0,5 m de radi i 2 m d'altura. Calcula'n la capacitat en litres (π = 3,14).

Mostra la solució

V = π · $r^{2}$ · h = 3,14 · 0, $5^{2}$ · 2 = 3,14 · 0,5 = 1,57 $m^{3}$ .
Com que 1 $m^{3}$ = 1000 L: 1,57 · 1000 = 1570 L.

Exercici 16

Un dipòsit en forma de prisma rectangular fa 2 m de llarg, 1,5 m d'ample i 1 m d'alt. Quantes garrafes de 5 L calen per omplir-lo?

Mostra la solució

Volum = 2 · 1,5 · 1 = 3 $m^{3}$ = 3000 dm³ = 3000 L.
Garrafes: $\tfrac{3000}{5} = 600$ garrafes.

Exercici 17

Una esfera té un volum de 288π cm³. Calcula'n el radi.

Mostra la solució

V = ( $\tfrac{4}{3}$ )πr³ = 288π. Simplifiquem π: ( $\tfrac{4}{3}$ ) $r^{3}$ = 288.
$r^{3}$ = 288 · $\tfrac{3}{4} = 216$ , per tant r = ∛216 = 6 cm.
Comprovació: ( $\tfrac{4}{3}$ ) · 216 = 288.

Exercici 18

Una caixa en forma de prisma rectangular mesura 3 dm × 4 dm × 12 dm. Quina és la longitud de la diagonal, és a dir, del segment més llarg que hi cap?

Mostra la solució

La diagonal d'un prisma rectangular és d = $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .
d = $\sqrt{9 + 16 + 144}$ = $\sqrt{169}$ = 13 dm.

Exercici 19

Un cilindre de radi 5 cm té un volum de 785 cm³. Quina altura té? (π = 3,14)

Mostra la solució

V = πr²h, per tant h = V/(πr²) = 785/(3,14 · 25) = 785/78,5 = 10 cm.

Exercici 20

Quants cubs d'aresta 5 cm caben en una caixa de 30 cm × 20 cm × 10 cm? Comprova-ho amb els volums.

Mostra la solució

Al llarg: $\tfrac{30}{5} = 6$ cubs; a l'ample: $\tfrac{20}{5} = 4$ ; en altura: $\tfrac{10}{5} = 2$ .
Total: 6 · 4 · 2 = 48 cubs.
Comprovació: volum de la caixa = 6000 cm³; volum d'un cub = 125 cm³; $\tfrac{6000}{125} = 48$ .

Exercici 21

L'etiqueta d'una llauna cilíndrica de 7 cm de diàmetre i 11 cm d'altura cobreix tota la superfície lateral sense solapaments. Quines dimensions té l'etiqueta desplegada i quina àrea té? (π = 3,14)

Mostra la solució

Desplegada, la superfície lateral és un rectangle. Un costat és l'altura: 11 cm. L'altre és la circumferència de la base: 2πr = 2 · 3,14 · 3,5 = 21,98 cm.
Àrea = 21,98 · 11 = 241,78 cm².
Comprovació amb la fórmula 2πrh = 2 · 3,14 · 3,5 · 11 = 241,78 cm².

Nivell avançat

Exercici 22

Un tronc de piràmide de base quadrada té una base major de 6 cm de costat, una base menor de 3 cm i una altura de 4 cm. Calcula'n el volum (pista: completa la piràmide).

Mostra la solució

Si prolonguem el tronc fins a la piràmide completa, la piràmide petita que sobra és semblant a la gran amb raó 3/6 = 1/2. Sigui H l'altura de la gran: H - 4 = H/2, així que H = 8 cm.
Piràmide gran: (1/3) · 36 · 8 = 96 cm³. Piràmide petita (altura 4): (1/3) · 9 · 4 = 12 cm³.
Volum del tronc = 96 - 12 = 84 cm³.

Exercici 23

Un got té forma de tronc de con, amb radis 6 cm (boca) i 3 cm (fons) i una altura de 4 cm. Calcula'n la capacitat en cm³ i en mL (π = 3,14).

Mostra la solució

Completem el con: la raó de semblança és 3/6 = 1/2, així que l'altura total és 8 cm (el con petit en té 4).
Con gran: (1/3) · π · 6² · 8 = 96π. Con petit: (1/3) · π · 3² · 4 = 12π.
Tronc: 96π - 12π = 84π = 84 · 3,14 = 263,76 cm³.
Com que 1 cm³ = 1 mL, la capacitat és d'uns 264 mL.

Exercici 24

Una pilota esfèrica de 5 cm de radi està dins d'una caixa cúbica d'aresta 10 cm, ajustada a la pilota. Quin percentatge del volum de la caixa ocupa la pilota? (π = 3,14)

Mostra la solució

Volum de la caixa = 10³ = 1000 cm³.
Volum de la pilota = (4/3) · 3,14 · 5³ = (4/3) · 3,14 · 125 = 523,33 cm³.
Percentatge = 523,33/1000 · 100 ≈ 52,3 %.
Gairebé la meitat de la caixa queda buida.

Exercici 25

Es vol fabricar una llauna cilíndrica d'1 L de capacitat i 10 cm de diàmetre. Calcula'n l'altura i la quantitat de xapa necessària (π = 3,14).

Mostra la solució

Radi = 5 cm i volum = 1 L = 1000 cm³.
Altura: h = V/(πr²) = 1000/(3,14 · 25) = 1000/78,5 ≈ 12,74 cm.
Xapa = àrea total = 2πr(r + h) = 2 · 3,14 · 5 · (5 + 12,74) ≈ 31,4 · 17,74 ≈ 557 cm².

Exercici 26

Una piscina de 25 m de llarg, 10 m d'ample i 1,5 m de profunditat s'omple amb un cabal de 500 litres per minut. Calcula el volum d'aigua i quant de temps es triga a omplir-la completament.

Mostra la solució

Volum = 25 · 10 · 1,5 = 375 m³ = 375000 L.
Temps = 375000/500 = 750 minuts = 12,5 hores (12 h 30 min).

Exercici 27

Un cucurutxo de gelat és un con de radi 3 cm i altura 10 cm, coronat per mitja esfera del mateix radi. Calcula el volum total del gelat que hi cap (π = 3,14).

Mostra la solució

Con: ( $\tfrac{1}{3}$ ) · π · $3^{2}$ · 10 = 30π.
Mitja esfera: ( $\tfrac{1}{2}$ ) · ( $\tfrac{4}{3}$ ) · π · $3^{3}$ = 18π.
Total = 48π = 48 · 3,14 = 150,72 cm³.

Exercici 28

Raona com canvien l'àrea total i el volum d'un cub si dupliquem la seva aresta. I si és una esfera i en tripliquem el radi?

Mostra la solució

Cub d'aresta a: àrea 6a² i volum $a^{3}$ . Amb aresta 2a: àrea 6(2a $)^{2}$ = 24a² (4 vegades més gran) i volum (2a $)^{3}$ = 8a³ (8 vegades més gran).
Esfera: A = 4πr² i V = ( $\tfrac{4}{3}$ )πr³. Amb radi 3r, l'àrea es multiplica per $3^{2}$ = 9 i el volum per $3^{3}$ = 27.
Regla general: si les longituds es multipliquen per k, les àrees es multipliquen per $k^{2}$ i els volums per $k^{3}$ .

Exercici 29

Un cilindre i un con tenen la mateixa base i la mateixa altura. Si el volum del cilindre és de 300 cm³, quin és el del con? Justifica-ho amb les fórmules.

Mostra la solució

Cilindre: V_cil = πr²h. Con: V_con = (1/3)πr²h.
Per tant V_con = (1/3) · V_cil = 300/3 = 100 cm³.
El con ocupa la tercera part del cilindre amb la mateixa base i altura.

Exercici 30

Un got cònic de radi 4 cm a la boca i 12 cm d'altura s'omple d'aigua fins a la meitat de l'altura (6 cm). Quin volum d'aigua conté i quina fracció de la capacitat total representa? (π = 3,14)

Mostra la solució

L'aigua forma un con semblant al got, amb raó 1/2: el seu radi és 2 cm i la seva altura, 6 cm.
Volum d'aigua = (1/3) · 3,14 · 2² · 6 = 8 · 3,14 = 25,12 cm³.
Capacitat total = (1/3) · 3,14 · 4² · 12 = 64 · 3,14 = 200,96 cm³.
Fracció = 8π/64π = 1/8.
Tot i estar a mitja altura, el got només és ple a 1/8 de la capacitat (la raó de volums és (1/2)³).

T'encalles amb aquest tema?

A L'Acadèmia de Vic t'ajudem amb classes individuals. Escriu-nos per WhatsApp.

Escriu-nos per WhatsApp (604 95 79 95)

Més informació: Reforç d'ESO a Vic · Classes particulars

Preguntes freqüents

Quina diferència hi ha entre l'altura i l'apotema d'una piràmide?

L'altura és la distància del vèrtex a la base, en perpendicular. L'apotema és l'altura d'una cara lateral. Estan relacionades amb l'apotema de la base pel teorema de Pitàgores.

Com passo de m³ a litres?

1 m³ = 1000 dm³ = 1000 L i 1 dm³ = 1 L. Per passar de cm³ a litres, divideix entre 1000.

Per què el volum d'una piràmide o d'un con porta un 1/3?

Perquè un con ocupa exactament la tercera part del cilindre amb la mateixa base i altura, i una piràmide la tercera part del prisma corresponent.

Exercicis de cossos geomètrics: àrees i volums — Matemàtiques 3r ESO

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Exercici 26

Exercici 27

Exercici 28

Exercici 29

Exercici 30

T'encalles amb aquest tema?

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 3r ESO