Exercicis de productivitat, costos i punt mort — Funcionament de l'Empresa 2n Batxillerat

La productivitat del treball és la quantitat produïda dividida per les unitats de treball utilitzades:
$P_L=\dfrac{Q}{L}=\dfrac{1.200}{6}=200$ taules per treballador i any.
Interpretació: cada treballador del taller ha contribuït, de mitjana, a fer 200 taules durant l'any.

$P_L=\dfrac{4.800\text{ pans}}{160\text{ h}}=30$ pans per hora.
Interpretació: en una hora de feina l'obrador produeix de mitjana 30 pans. Si en una altra setmana, amb la mateixa plantilla, en fes més per hora, la productivitat hauria millorat.

$P_K=\dfrac{Q}{K}=\dfrac{9.000}{3}=3.000$ pastissos per forn i mes.
Interpretació: cada forn ha permès de fer, de mitjana, 3.000 pastissos al mes. Mesura el rendiment del capital (la maquinària) i no el del treball.

$P_{global}=\dfrac{\text{valor de la producció}}{\text{cost total dels factors}}=\dfrac{90.000}{72.000}=1{,}25$.
Interpretació: per cada euro gastat en factors de producció, l'empresa obté 1,25 euros de valor produït. Un valor superior a 1 indica que el que es produeix val més del que costa produir-ho.

$\text{Taxa de variació}=\dfrac{P_2-P_1}{P_1}=\dfrac{1{,}35-1{,}25}{1{,}25}=0{,}08$, és a dir, un 8 %.
Interpretació: la productivitat global ha augmentat un 8 %: l'empresa ha aconseguit més valor de producció per cada euro invertit en factors.

Costos variables totals: $CV=CV_u\cdot Q=12\cdot 1.500=18.000$ €.
Costos totals: $CT=CF+CV=8.000+18.000=26.000$ €.
Interpretació: els costos fixos (8.000 €) no depenen del nombre de serveis; els variables creixen amb l'activitat. El cost mitjà per servei és de 17,33 €.

$IT=p\cdot Q=25\cdot 1.500=37.500$ €.
$B=IT-CT=37.500-26.000=11.500$ €.
Interpretació: amb aquesta activitat l'empresa guanya 11.500 €. Hi ha benefici perquè els ingressos superen els costos totals.

Marge de contribució per unitat: $p-CV_u=20-8=12$ €.
$Q_{PM}=\dfrac{CF}{p-CV_u}=\dfrac{6.000}{12}=500$ unitats.
Ingressos al punt mort: $20\cdot 500=10.000$ €.
Interpretació: amb 500 unitats venudes els ingressos igualen els costos totals i el benefici és zero. A partir de la unitat 501 l'empresa guanya diners; per sota del punt mort, perd.

Eficàcia: grau d'assoliment de l'objectiu. L'empresa A fabrica 2.000 unitats i compleix l'objectiu (100 %). L'empresa B en fa 1.800, el 90 % de l'objectiu: no és eficaç.
Productivitat del treball: $P_{L,A}=\dfrac{2.000}{10}=200$ i $P_{L,B}=\dfrac{1.800}{8}=225$ unitats per treballador.
Interpretació: A és eficaç i B és més productiva. Una empresa pot ser productiva sense ser eficaç, i a l'inrevés: són conceptes diferents.

Un cost és fix si no canvia amb el volum de producció a curt termini, i variable si augmenta amb la producció.
(a) Fix. (b) Variable. (c) Fix. (d) Variable. (e) Fix. (f) Variable (depèn de les vendes).
Interpretació: els costos fixos s'han de pagar encara que no es produeixi res; són els que cal cobrir per arribar al punt mort.

(a) Hores totals: matí $8\cdot 45=360$ h; tarda $6\cdot 45=270$ h.
$P_{\text{matí}}=\dfrac{3.600}{360}=10$ caixes/h; $P_{\text{tarda}}=\dfrac{3.300}{270}=12{,}22$ caixes/h.
(b) El torn de tarda és més productiu: $\dfrac{12{,}22-10}{10}=22{,}2$ % més.
Interpretació: tot i produir menys caixes en total, el torn de tarda aprofita millor cada hora de treball. Comparar només la producció total portaria a una conclusió errònia.

(a) $P_{L,2024}=\dfrac{1.000}{5}=200$ i $P_{L,2025}=\dfrac{1.260}{6}=210$ bicicletes per treballador.
(b) $\dfrac{210-200}{200}=0{,}05$, és a dir, un 5 %.
(c) Sí. La producció ha crescut un 26 %, però la plantilla només un 20 %; per això cada treballador produeix un 5 % més.
Interpretació: contractar més gent fa créixer la producció, però només és una millora de productivitat si la producció creix més que els treballadors.

Valor de la producció: $7.000\cdot 18=126.000$ €.
Cost total dels factors: $52.000+38.000+16.000=106.000$ €.
$P_{global}=\dfrac{126.000}{106.000}=1{,}19$.
Interpretació: per cada euro gastat en factors, la formatgeria obté 1,19 € de producció valorada. És superior a 1, de manera que l'activitat genera valor; per millorar-la caldria reduir costos o produir més amb el mateix cost.

(a) La tècnica B usa menys treballadors que A (4 contra 5) i el mateix nombre de màquines: B és tècnicament més eficient que A, i A és tècnicament ineficient. B i C no es poden comparar tècnicament (C usa menys treballadors però més màquines).
(b) Costos: $C_A=5\cdot 2.000+2\cdot 1.500=13.000$ €; $C_B=4\cdot 2.000+2\cdot 1.500=11.000$ €; $C_C=3\cdot 2.000+4\cdot 1.500=12.000$ €.
L'eficiència econòmica correspon a la tècnica de cost mínim: la B.
Interpretació: l'eficiència tècnica només compara quantitats de factors; l'econòmica incorpora els preus. Una tècnica tècnicament ineficient no es tria mai, però entre les tècnicament eficients decideix el cost.

$Q_{PM}=\dfrac{24.000}{40-25}=1.600$ llibres.
Ingressos al punt mort: $40\cdot 1.600=64.000$ €.
Perquè no hi hagi pèrdues cal vendre almenys 1.600 llibres, és a dir, ingressar 64.000 € a l'any.
Interpretació: cada llibre cobreix 15 € dels costos fixos; calen 1.600 llibres per cobrir els 24.000 €.

(a) $B=IT-CT=40\cdot 2.000-(24.000+25\cdot 2.000)=80.000-74.000=6.000$ €.
Comprovació: $B=(p-CV_u)(Q-Q_{PM})=15\cdot(2.000-1.600)=6.000$ €.
(b) Marge de seguretat: $2.000-1.600=400$ llibres, un $\dfrac{400}{2.000}=0{,}2$, és a dir, un 20 % de les vendes previstes.
Interpretació: les vendes poden caure fins a un 20 % abans no apareguin pèrdues; com més gran és el marge de seguretat, menys risc té el negoci.

Condició: $B=(p-CV_u)\cdot Q-CF\Rightarrow Q=\dfrac{CF+B}{p-CV_u}$.
$Q=\dfrac{24.000+9.000}{15}=2.200$ llibres.
Ingressos: $40\cdot 2.200=88.000$ €.
Interpretació: per guanyar 9.000 € cal vendre 600 llibres més que al punt mort, ja que cada llibre addicional aporta 15 € de benefici un cop cobert el cost fix.

(a) Abans: $Q_{PM}=\dfrac{6.000}{12}=500$ unitats. Després: $Q_{PM}=\dfrac{7.500}{12}=625$ unitats.
(b) Abans: $B=12\cdot 700-6.000=2.400$ €. Després: $B=12\cdot 700-7.500=900$ €.
(c) El benefici baixa exactament 1.500 € (l'increment del cost fix) i el punt mort puja 125 unitats.
Interpretació: un cost fix més alt obliga a vendre més per no perdre; amb 700 unitats ara l'empresa només guanya 900 €, i si les vendes baixessin per sota de 625 unitats tindria pèrdues.

(a) $Q_{PM,A}=\dfrac{10.000}{20-10}=1.000$ unitats; $Q_{PM,B}=\dfrac{16.800}{20-6}=1.200$ unitats.
(b) Igualem els costos totals: $10.000+10Q=16.800+6Q\Rightarrow 4Q=6.800\Rightarrow Q=1.700$ unitats. Per sobre de 1.700 unitats la tecnologia B té un cost total inferior.
(c) Amb 2.000 unitats: $CT_A=10.000+10\cdot 2.000=30.000$ € i $CT_B=16.800+6\cdot 2.000=28.800$ €. Els ingressos són 40.000 €, de manera que $B_A=10.000$ € i $B_B=11.200$ €. Convé la B.
Interpretació: la tecnologia B té més risc (punt mort més alt), però si la demanda és prou gran paga la pena perquè cada unitat costa menys.

(a) Abans: $P_K=\dfrac{160.000}{1.600}=100$ ampolles per hora. Després: $P_K=\dfrac{165.000}{1.500}=110$ ampolles per hora.
(b) $\dfrac{110-100}{100}=0{,}10$, és a dir, un 10 %.
(c) La màquina fa 10 ampolles més per hora d'ús, tot i funcionar menys hores.
Interpretació: la millora no ve de treballar més hores, sinó d'aprofitar millor el temps de funcionament: l'empresa produeix un 3,1 % més amb un 6,25 % menys d'hores de màquina.

(a) $P_L$: 2024: $\dfrac{12.000}{8}=1.500$; 2025: $\dfrac{14.400}{9}=1.600$ peces per treballador.
$P_K$: 2024: $\dfrac{12.000}{4}=3.000$; 2025: $\dfrac{14.400}{4}=3.600$ peces per forn.
$P_{global}=\dfrac{\text{valor producció}}{\text{cost total}}$: 2024: $\dfrac{120.000}{60.000}=2{,}00$; 2025: $\dfrac{144.000}{66.000}=2{,}182$.
(b) $\Delta P_L=\dfrac{1.600-1.500}{1.500}=6{,}7$ %; $\Delta P_K=\dfrac{3.600-3.000}{3.000}=20$ %; $\Delta P_{global}=\dfrac{2{,}182-2{,}00}{2{,}00}=9{,}1$ %.
(c) La productivitat del capital creix més (20 %) perquè la producció ha augmentat un 20 % amb els mateixos 4 forns. Això vol dir que els forns estaven infrautilitzats.
(d) La productivitat del treball puja un 6,7 % i la global un 9,1 %: l'empresa és més eficient perquè el cost per euro produït ha baixat.
Interpretació: créixer sense ampliar el capital millora la productivitat, però la del capital no pot créixer indefinidament, perquè els forns tenen una capacitat màxima.

(a) $Q_{PM}=\dfrac{4.500}{8-3}=900$ coques; ingressos: $8\cdot 900=7.200$ €.
(b) $B=5\cdot 1.500-4.500=3.000$ €. Marge de seguretat: $1.500-900=600$ coques, un 40 % de les vendes.
(c) Nou marge: $7-3=4$ €. $Q_{PM}'=\dfrac{4.500}{4}=1.125$ coques. Per tenir 3.000 € de benefici: $Q=\dfrac{4.500+3.000}{4}=1.875$ coques.
(d) Cal vendre 1.875 coques en comptes de 1.500, un 25 % més. Només convé baixar el preu si hi ha una garantia raonable que la demanda augmentarà aquest percentatge o més.
Interpretació: baixar el preu redueix el marge unitari i fa pujar el punt mort; és una decisió arriscada si la capacitat de l'obrador o la demanda no permeten vendre molt més.

(a) Amortització anual: $\dfrac{60.000}{10}=6.000$ €. $CF=6.000+18.000+22.000=46.000$ €.
(b) $Q_{PM}=\dfrac{46.000}{25-15}=4.600$ peces.
(c) $B=10\cdot 5.500-46.000=9.000$ €.
(d) L'amortització és un cost fix perquè l'import anual no depèn de les peces produïdes: és la pèrdua de valor de la màquina repartida en els anys de vida útil. No suposa cap sortida de caixa aquell any (la màquina es va pagar en comprar-la), però sí que és un cost que els ingressos han de cobrir a la llarga per poder renovar l'equip.
Interpretació: amb 5.500 peces l'empresa supera el punt mort en 900 peces i guanya 9.000 €. Si no es tingués en compte l'amortització, el punt mort semblaria més baix (4.000 peces) i l'empresa es creuria més rendible del que és.

(a) Benefici actual: $B=(30-18)\cdot 8.000-84.000=12.000$ €. Punt mort: $Q_{PM}=\dfrac{84.000}{12}=7.000$ unitats.
(b) Marge unitari de la comanda: $24-18=6$ €; benefici addicional: $6\cdot 1.500=9.000$ €. Els costos fixos ja estan coberts i no augmenten. Nou benefici: $12.000+9.000=21.000$ €.
(c) El cost total unitari actual és $18+\dfrac{84.000}{8.000}=28{,}5$ €, superior a 24 €, però la decisió només depèn del cost variable, perquè el cost fix es paga igualment. Mentre el preu superi el cost variable (24 contra 18) i hi hagi capacitat lliure (1.500 unitats, dins de les 2.000 disponibles), la comanda augmenta el benefici.
(d) Riscos: que altres clients vulguin pagar també 24 €, que el preu baix s'estengui al mercat o que la comanda ocupi capacitat que més endavant es podria vendre a 30 €.
Interpretació: vendre per sota del cost total unitari pot ser rendible puntualment si hi ha capacitat ociosa, però no es pot convertir en la política habitual de preus.

(a) Com que només varia el cost variable: $CV_u=\dfrac{26.000-18.000}{2.000-1.000}=8$ €. Llavors $CF=18.000-8\cdot 1.000=10.000$ €.
(b) $Q_{PM}=\dfrac{10.000}{13-8}=2.000$ unitats; ingressos: $13\cdot 2.000=26.000$ €.
(c) $B=5\cdot 3.000-10.000=5.000$ €.
(d) $B=5\cdot 1.500-10.000=-2.500$ €, és a dir, una pèrdua de 2.500 €.
Interpretació: amb 3.000 unitats l'empresa està 1.000 per sobre del punt mort i guanya; amb 1.500 en queda 500 per sota i perd 2.500 €, cosa coherent amb el fet que cada unitat que falta per arribar al punt mort suposa 5 € de pèrdua.

(a) $B=(20-11)\cdot 10.000-54.000=36.000$ €.
(b) Cal $B=(20-CV_u)\cdot 10.000-54.000=45.000\Rightarrow 20-CV_u=9{,}9\Rightarrow CV_u=10{,}10$ €. Hauria de baixar el cost variable a 10,10 €, un 8,2 % menys.
(c) Cal $(p-11)\cdot 10.000=99.000\Rightarrow p=20{,}90$ €, 0,90 € més, un 4,5 % d'increment.
(d) Depèn: apujar el preu és més directe, però pot reduir la demanda; reduir el cost variable un 8 % exigeix canviar de proveïdors o millorar el procés. Convé comparar-ho amb la sensibilitat de la demanda al preu.
Interpretació: el benefici és molt sensible al preu: una pujada del 4,5 % fa créixer el benefici un 25 %.

(a) Abans: $P_L=\dfrac{6.000}{6}=1.000$; $P_K=\dfrac{6.000}{3}=2.000$. Després: $P_L=\dfrac{6.000}{4}=1.500$; $P_K=\dfrac{6.000}{4}=1.500$ (ara hi ha 4 màquines).
La productivitat del treball puja un 50 % i la del capital baixa un 25 %.
(b) Costos fixos nous: $70.000-36.000+\dfrac{20.000}{5}=38.000$ €. Marge unitari: $40-22=18$ €.
Abans: $Q_{PM}=\dfrac{70.000}{18}=3.888{,}89$ unitats i $B=18\cdot 6.000-70.000=38.000$ €.
Després: $Q_{PM}=\dfrac{38.000}{18}=2.111{,}11$ unitats i $B=18\cdot 6.000-38.000=70.000$ €.
(c) La inversió fa baixar el punt mort i puja el benefici anual en 32.000 €. Convé econòmicament: la màquina costa 20.000 € i el benefici addicional d'un any ja és superior. Cal tenir present, però, el cost social de la reducció de plantilla.
Interpretació: substituir treball per capital millora la productivitat del treball i redueix el cost fix, però empitjora la productivitat del capital.

(a) Preu: $20\cdot 0{,}9=18$ €. Marge: 6 €. $Q_{PM}=\dfrac{40.000}{6}=6.666{,}67$ unitats.
(b) Marge 8 €. $Q_{PM}=\dfrac{40.000}{8}=5.000$ unitats.
(c) Preu: 22 €. Marge: 10 €. $Q_{PM}=\dfrac{40.000}{10}=4.000$ unitats.
(d) El 80 % de 7.000 és 5.600 unitats. Només el cas (a) el supera (6.666,67 unitats, un 95,2 % de la capacitat), mentre que (b) en suposa el 71,4 % i (c), el 57,1 %.
Interpretació: una baixa de preu del 10 % fa pujar el punt mort un 33 %, mentre que una pujada del 10 % el redueix un 20 %. El punt mort és molt sensible al preu perquè el marge unitari és petit en comparació amb el preu.

(a) $CF=800+3.200+500+500=5.000$ €/mes.
(b) Marge unitari: $6{,}50-2{,}50=4$ €. $Q_{PM}=\dfrac{5.000}{4}=1.250$ envasos, un 62,5 % de la capacitat de 2.000 envasos.
(c) $B=4\cdot 1.700-5.000=1.800$ €/mes.
(d) Sí, amb reserves: les vendes previstes superen el punt mort en 450 envasos (un 26,5 % de marge de seguretat sobre les vendes previstes) i el benefici és positiu. El risc és que el punt mort ja és el 62,5 % de la capacitat i les vendes previstes en són el 85 %: si la demanda real fos inferior a 1.250 envasos hi hauria pèrdues, i qualsevol pujada de lloguer o de sous el faria pujar.
Interpretació: el projecte és viable en aquest escenari, però no té gaire marge de maniobra; convé validar la demanda abans de comprometre els costos fixos.

(a) Cost laboral per peça: $\dfrac{15}{5}=3$ €. $CV_u=3+7=10$ €. Marge: $18-10=8$ €. $Q_{PM}=\dfrac{16.000}{8}=2.000$ peces.
(b) Nova productivitat: $5\cdot 1{,}25=6{,}25$ peces/hora. Cost laboral: $\dfrac{15}{6{,}25}=2{,}4$ €/peça. $CV_u=2{,}4+7=9{,}4$ €. Marge: $18-9{,}4=8{,}6$ €. $Q_{PM}=\dfrac{16.000}{8{,}6}=1.860{,}47\approx 1.861$ peces (s'arrodoneix cap amunt: amb 1.860 peces encara hi hauria una pèrdua de 4 €).
(c) Abans: $B=8\cdot 3.000-16.000=8.000$ €. Després: $B=8{,}6\cdot 3.000-16.000=9.800$ €.
(d) Una productivitat més alta fa baixar el cost variable per unitat, augmenta el marge i redueix el punt mort. Cal vendre menys per començar a guanyar, i el benefici creix per a cada volum de vendes.
Interpretació: la formació fa guanyar al taller 1.800 € més al mes amb el mateix nivell de vendes, sense pujar el preu.

a) $60.000+4{,}80\,Q=7{,}50\,Q\;\Rightarrow\;Q=\dfrac{60.000}{2{,}70}\approx 22.222{,}2$ unitats. A partir de 22.223 unitats és més barat fabricar-lo.

b) Costos de fabricar / comprar:
25.000 unitats: 180.000 € / 187.500 €
18.000 unitats: 146.400 € / 135.000 €
30.000 unitats: 204.000 € / 225.000 €
Cost esperat de fabricar = 174.720 €; de comprar = 179.250 €. (Demanda esperada: 23.900 unitats.)

c) Fabricar costa de mitjana 4.530 € menys, però amb demanda baixa (18.000) comprar surt més barat en 11.400 €, mentre que amb demanda alta fabricar estalvia 21.000 €. Convé fabricar si es creu que la demanda serà normalment superior a 22.223 unitats; el risc és la inversió fixa si les vendes cauen.

d) Control de qualitat i de terminis, dependència d'un únic proveïdor, protecció de la tecnologia, flexibilitat per canviar de component, ocupació i capacitat de la plantilla pròpia, i risc de trencaments de subministrament.

Errors típics

• Comparar només el cost variable sense incloure els costos fixos de fabricar.
• Decidir amb el cost d'un sol nivell de demanda ignorant la incertesa.
• Oblidar que la capacitat màxima limita el volum que es pot fabricar.

Conceptes treballats: decisió de fer o comprar, costos fixos i variables, punt d'indiferència, valor esperat, risc.

a) Benefici = (15 − 8) · 42.000 − 250.000 = 44.000 €.

b) Marge de les unitats especials = 11 − 8 − 0,50 = 2,50 €. Capacitat lliure = 50.000 − 42.000 = 8.000 unitats: suficient. Efecte = 2,50 · 6.000 = +15.000 €. Benefici total = 59.000 €. Convé acceptar-la perquè els costos fixos ja estan coberts i el marge és positiu.

c) Capacitat lliure: 8.000 unitats; caldria deixar de vendre 2.000 unitats a preu normal. Efecte = 2,50 · 10.000 − 2.000 · 7 = 11.000 €. Si només es fabriquen les 8.000 unitats que caben, l'efecte és 2,50 · 8.000 = 20.000 €, que és millor que la comanda sencera.

d) Els clients habituals poden descobrir el preu més baix i exigir-lo; l'empresa pot afectar la imatge de preu de la marca o crear dependència d'un client de baix marge. Només convé acceptar una comanda així quan hi ha capacitat ociosa, no desplaça vendes a preu normal i el preu no es converteix en referència.

Errors típics

• Incloure els costos fixos en el cost de la comanda: ja existeixen amb o sense ella.
• Oblidar el cost d'oportunitat quan la comanda ocupa capacitat que es destinaria a clients habituals.
• Acceptar qualsevol preu que superi el cost mitjà total, en lloc de mirar el marge d'aportació.

Conceptes treballats: decisions de producció a curt termini, marge de contribució, capacitat ociosa, cost d'oportunitat, política de preus.

a) Actual: $Q^*=\dfrac{80.000}{15-9}\approx 13.333{,}3$ unitats (13.334 en arrodonir cap amunt). Automatitzat: $Q^*=\dfrac{140.000}{15-6}\approx 15.555{,}6$ unitats (15.556).

b) Igualant els costos: 80.000 + 9 Q = 140.000 + 6 Q, d'on 3 Q = 60.000 i Q = 20.000 unitats. A partir de 20.000 unitats, l'automatització dona més benefici.

c) 18.000 unitats: actual = 6 · 18.000 − 80.000 = 28.000 €; automatitzat = 9 · 18.000 − 140.000 = 22.000 €. 24.000 unitats: actual = 64.000 €; automatitzat = 76.000 €. Amb pocs volums guanya el procés actual; amb volums grans, l'automatitzat.

d) Uns costos fixos més alts augmenten el risc: el punt mort és més alt i, si la demanda baixa, les pèrdues són més grans (palanquejament operatiu). El factor clau és el volum de vendes i la seva estabilitat: l'automatització convé si la demanda és alta i previsible.

Errors típics

• Pensar que baixar el cost variable és sempre millor.
• Comparar el punt mort sense comparar-ne els beneficis a diferents volums.
• Oblidar que el volum d'indiferència determina la decisió.

Conceptes treballats: estructura de costos, punt mort, volum d'indiferència entre alternatives, palanquejament operatiu, risc.

a) Per hora: 2025 = 3,571 u/h; 2026 = 3,939 u/h (10,3 %). Per persona: 2025 = 6.000; 2026 = 6.428,6 (7,1 %). Global: 2025 = 1,111; 2026 = 1,146 (3,1 %).

b) Amb preu del 2025: 540.000 · $\tfrac{10}{4}$.806.000 = 1,124, una variació d'1,1 %. Per tant, gran part de la millora aparent de la productivitat global (3,1 %) és efecte del preu.

c) La millora real és a la productivitat física: un 10,3 % per hora, perquè la producció creix un 12,5 % i les hores només un 2 %. Les hores per persona han baixat (de 1.680 a 1.632), cosa que cal vigilar (més absentisme o menys jornada) però que no impedeix que la productivitat pugi. La productivitat global gairebé no millora: els costos creixen gairebé al mateix ritme que els ingressos.

d) Perquè permet produir més amb els mateixos recursos, reduir costos unitaris i guanyar competitivitat. Si només es redueix plantilla sense millorar els processos, la productivitat pot pujar a curt termini però es perd coneixement, es carrega la gent restant i la qualitat i el clima laboral empitjoren.

Errors típics

• Comparar productivitats nominals (en euros) sense netejar l'efecte del preu.
• Confondre taxa de variació amb diferència en punts.
• Concloure que la productivitat ha millorat a tot arreu mirant només un indicador.

Conceptes treballats: productivitat per factor, productivitat global, taxa de variació, efecte del preu, interpretació.

a) $Q^*=\dfrac{360.000}{45-27}=20.000$ unitats.

b) BAI necessari = 90.000 / 0,75 = 120.000 €. $Q=\dfrac{360.000+120.000}{18}\approx 26.666{,}7$ unitats, és a dir, 26.667 unitats arrodonint cap amunt.

c) BAI = 18 · 28.000 − 360.000 = 144.000 €; impost = 36.000 €; benefici net = 108.000 €. Marge de seguretat = (28.000 − 20.000) / 28.000 = 28,6 %: les vendes poden caure un 28,6 % abans d'entrar en pèrdues.

d) Preu nou = 41,40 €; marge unitari = 14,40 €; punt mort = 360.000 / 14,40 = 25.000 unitats. BAI amb 28.000 unitats = 14,40 · 28.000 − 360.000 = 43.200 €. Una rebaixa del 8 % del preu redueix el marge unitari un 20 % i el benefici cau un 70 %.

Errors típics

• Afegir el benefici net objectiu directament als costos fixos sense passar-lo a benefici abans d'impostos.
• Confondre marge de seguretat amb marge unitari.
• Pensar que una rebaixa del 8 % del preu redueix només un 8 % el benefici.

Conceptes treballats: punt mort, benefici objectiu, impost de societats, marge de seguretat, anàlisi de sensibilitat al preu.

a) Benefici = 10 · min(demanda, capacitat) − cost fix:
Demanda 9.000: nivell 1, 50.000 €; nivell 2, 26.000 €; nivell 3, −5.000 €
Demanda 11.000: nivell 1, 60.000 €; nivell 2, 46.000 €; nivell 3, 15.000 €
Demanda 19.000: nivell 1, 60.000 €; nivell 2, 126.000 €; nivell 3, 95.000 €
Demanda 21.000: nivell 1, 60.000 €; nivell 2, 136.000 €; nivell 3, 115.000 €

b) 9.000: nivell 1. 11.000: nivell 1 (60.000 € davant de 46.000 € del nivell 2). 19.000: nivell 2. 21.000: nivell 2 (136.000 € davant de 115.000 € del nivell 3).

c) Ampliar des del nivell 1 amb 11.000 unitats afegeix 1.000 unitats venudes (10.000 € de marge) però costa 24.000 € més de costos fixos: no compensa. El mateix passa del nivell 2 al 3 amb 21.000 unitats: 10.000 € de marge per 31.000 € de cost fix addicional. S'amplia quan el marge de les unitats addicionals supera l'increment dels costos fixos.

d) Triar la capacitat que ofereix el millor resultat esperat i mantenir flexibilitat (per exemple, torns addicionals o subcontractació per als pics de demanda, que converteixen costos fixos en variables), en lloc de comprometre'n una capacitat gran.

Errors típics

• Calcular el benefici amb la demanda i no amb les unitats que es poden produir.
• Pensar que ampliar la capacitat sempre augmenta el benefici.
• Comparar els nivells només pel cost fix i no pel resultat.

Conceptes treballats: costos fixos esglaonats, capacitat, marge de contribució, decisió d'ampliació, flexibilitat.

a) Benefici = (40 − 24) · 12.000 − 150.000 = 42.000 €.

b) Preu rebaixat = 36 €; marge = 12 €. Vendes necessàries: (42.000 + 150.000) / 12 = 16.000 peces, un +33,3 %. Una rebaixa del 10 % del preu exigeix un 33 % més de vendes.

c) Vendes = 12.000 · 1,15 = 13.800. Benefici = 12 · 13.800 − 150.000 = 15.600 €, molt inferior als 42.000 €. No convé: l'augment de la demanda (15 %) és molt inferior al 33 % necessari.

d) Amb rebaixa del 15 %: preu 34 €, marge 10 €, vendes necessàries = 16 / 10 = 1,6, és a dir, +60 %. Com més petit és el marge sobre el preu, més sensible és el benefici a les rebaixes: un preu que baixa un 15 % requereix un 60 % més de vendes.

Errors típics

• Pensar que una rebaixa del 10 % del preu només exigeix un 10 % més de vendes.
• Comparar ingressos en comptes de marge.
• Oblidar que el cost variable per unitat no canvia amb el preu.

Conceptes treballats: marge unitari, sensibilitat del benefici al preu, volum necessari per mantenir el benefici, elasticitat, decisions de preu.

a) A: $\tfrac{12}{2}$ = 6,00 € per hora. B: $\tfrac{15}{3}$ = 5,00 € per hora.

b) L'A aporta més per hora: es fabriquen les 2.000 unitats d'A (4.000 hores). Queden 2.000 hores, que donen 666 unitats de B (arrodonit cap avall). Marge = 2.000 · 12 + 666 · 15 = 33.990 €.

c) Prioritzant B: 1.500 unitats de B (4.500 h), que deixen 1.500 h per a 750 unitats d'A. Marge = 1.500 · 15 + 750 · 12 = 31.500 €, inferior al pla òptim en 2.490 €.

d) No convé pagar 25 € per una hora que aporta, com a màxim, 5 € de marge (la B) o 6 € (l'A): llogar-la faria perdre diners. Només convindria si el lloguer fos inferior a aquest marge per hora.

Errors típics

• Prioritzar el producte de major marge per unitat quan el recurs escàs és el temps de màquina.
• Oblidar les restriccions de demanda màxima.
• Fabricar fraccions d'unitat: cal arrodonir al nombre enter d'unitats que cap.

Conceptes treballats: recurs escàs, marge per unitat de recurs, mix de producció, decisions de producció, cost d'oportunitat.

a) A: 500.000 − 300.000 − 120.000 = 80.000 €; B: 400.000 − 260.000 − 100.000 = 40.000 €; C: 200.000 − 130.000 − 90.000 = −20.000 €. Total = 100.000 €.

b) A: 200.000 €; B: 140.000 €; C: 70.000 €. La línia C aporta 70.000 € per cobrir costos fixos tot i mostrar pèrdues comptables.

c) Si es tanca C, es perd el seu marge (70.000 €) i s'estalvien 30.000 €. Benefici total = 100.000 − 70.000 + 30.000 = 60.000 €. Baixa, per tant no convé tancar-la a curt termini; la línia contribueix a pagar costos fixos que de totes maneres s'han de cobrir.

d) Si el tancament alliberés recursos (capacitat, personal, local) que es poguessin fer servir en un producte més rendible, el cost d'oportunitat canviaria la decisió. També compten la imatge de gamma completa, l'impacte en la plantilla, la possible millora de C amb canvis de preu o costos i la rellevància futura del producte.

Errors típics

• Tancar una línia perquè mostra pèrdues comptables sense mirar el marge de contribució.
• Considerar tots els costos fixos assignats com a evitables.
• Repartir els costos fixos entre línies i prendre decisions basades només en aquest repartiment.

Conceptes treballats: costos fixos i variables, marge de contribució, costos evitables, decisió de tancament, cost d'oportunitat.

a) Productivitat: de 12 a 18, +50 %. Hores: abans 10.000, després 6.667; estalvi de 3.333 hores.

b) Estalvi de salaris = 3.333 · 22 = 73.333 €; menys manteniment: 61.333 € l'any. Pay-back = 300.000 / 61.333 = 4,89 anys. VAN = −300.000 + 61.333 · (1 − 1,08⁻⁸) / 0,08 = 52.461 €: positiu, la inversió és rendible.

c) El robot afegeix costos fixos (amortització i manteniment) i redueix el cost variable (menys hores de treball per unitat): com que l'enunciat no dona el preu, no es pot afirmar si el punt mort puja o baixa: pugen els costos fixos (amortització de 37.500 € l'any i manteniment de 12.000 €), però també el marge unitari, perquè el cost de mà d'obra per unitat baixa de 22 / 12 = 1,83 € a 22 / 18 = 1,22 €. El punt mort puja si l'augment relatiu dels costos fixos supera el del marge unitari. En tot cas, una estructura amb més costos fixos fa el benefici més sensible al volum de vendes (palanquejament operatiu).

d) Pot suposar reduir o reassignar part de la plantilla (aproximadament un terç de les hores). L'empresa hauria d'estudiar reconversió i formació de les persones afectades, el diàleg amb la plantilla, l'impacte en el clima laboral i les alternatives de creixement per no destruir ocupació. És una decisió de RSC i no només de rendibilitat.

Errors típics

• Confondre l'increment de productivitat (+50 %) amb la reducció d'hores (−33 %).
• Oblidar el cost de manteniment a l'estalvi anual.
• Prendre la decisió només amb el VAN, sense valorar l'impacte social.

Conceptes treballats: productivitat, inversió en automatització, pay-back i VAN, estructura de costos, impacte social.