Flashcards: Combinatòria

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1.Què diu el principi de multiplicació?

   Si una tria es fa en etapes successives, amb $m$ opcions en la primera i $n$ en la segona, el nombre total de possibilitats és $m \cdot n$.

2. 2.Què és el factorial $n!$?

   El producte de tots els naturals des de $n$ fins a 1: $n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$. Per exemple, $4! = 24$.

3. 3.Quant val $0!$?

   $0! = 1$, per conveni, perquè les fórmules de la combinatòria funcionin també quan $k = 0$ o $k = n$.

4. 4.Com simplifiques un quocient de factorials com $\dfrac{n!}{(n-2)!}$?

   Escrius el factorial gran fins a arribar al petit i el simplifiques: $\dfrac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)$.

5. 5.Quines preguntes et fas per saber quin tipus d'agrupació tens?

   Importa l'ordre? S'agafen tots els elements o només uns quants? Es poden repetir? Amb les respostes saps si és variació, permutació o combinació.

6. 6.Com decideixes si l'ordre importa?

   Si canviant l'ordre obtens un resultat diferent (càrrecs, posicions, xifres d'un nombre), importa. Si només compta qui hi ha (una comissió, un grup), no.

7. 7.Què són les variacions sense repetició $V_{n,k}$ i com es calculen?

   Grups ordenats de $k$ elements diferents triats entre $n$. $V_{n,k} = n(n-1)\cdots(n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

8. 8.Fórmula de les variacions amb repetició $VR_{n,k}$.

   $VR_{n,k} = n^k$: l'ordre importa i cada posició pot prendre qualsevol dels $n$ elements. Un PIN de 4 xifres: $10^4$ possibilitats.

9. 9.Què són les permutacions $P_n$?

   Les maneres d'ordenar tots els $n$ elements diferents: $P_n = n!$. L'ordre importa i no se'n deixa cap.

10. 10.Com es calculen les permutacions amb elements repetits?

    Divideixes $n!$ entre el factorial de les vegades que es repeteix cada element: $\dfrac{n!}{a!\,b!\cdots}$. Anagrames de «PAPA»: $\dfrac{4!}{2!\,2!} = 6$.

11. 11.Què són les combinacions $C_{n,k}$ i com es calculen?

    Grups de $k$ elements diferents triats entre $n$ on l'ordre no importa. $C_{n,k} = \dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$.

12. 12.Quina relació hi ha entre $V_{n,k}$ i $C_{n,k}$?

    $V_{n,k} = k! \cdot C_{n,k}$, perquè cada grup sense ordre es pot ordenar de $k!$ maneres diferents.

13. 13.En un grup de $n$ persones, totes s'encaixen la mà una vegada. Quin tipus d'agrupació compta les encaixades?

    Combinacions de 2: $\dbinom{n}{2}$. Encaixar A amb B és el mateix que B amb A, així que l'ordre no importa.

14. 14.Quant valen $\dbinom{n}{0}$, $\dbinom{n}{n}$ i $\dbinom{n}{1}$?

    $\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1$ i $\dbinom{n}{1} = n$.

15. 15.Propietat de simetria dels nombres combinatoris.

    $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$: triar els $k$ que entren és el mateix que triar els $n-k$ que queden fora.

16. 16.Completa: $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \ ?$

    $\dbinom{n+1}{k+1}$. És la propietat que construeix el triangle de Pascal: cada nombre és la suma dels dos que té a sobre.

17. 17.Què hi trobes, a la fila $n$ del triangle de Pascal?

    Els nombres combinatoris $\dbinom{n}{0}, \dbinom{n}{1}, \ldots, \dbinom{n}{n}$, que són els coeficients de $(a+b)^n$. Les files es compten des de la 0, el 1 de dalt de tot.

18. 18.Fórmula del binomi de Newton.

    $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^{n-k} b^k$. Els exponents de $a$ baixen d'un en un i els de $b$ pugen.

19. 19.Quants termes té el desenvolupament de $(a+b)^n$?

    $n+1$ termes. En cada terme, els exponents de $a$ i de $b$ sumen $n$.

20. 20.Terme general del binomi de Newton (per trobar un terme concret).

    $T_{k+1} = \dbinom{n}{k} a^{n-k} b^k$. Per buscar el coeficient d'una potència de $x$, tries la $k$ que dona aquest exponent.

21. 21.Error típic: $(a+b)^n = a^n + b^n$?

    Fals. Hi falten els termes centrals: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

22. 22.Què canvia en el desenvolupament de $(a-b)^n$?

    Els signes s'alternen $+, -, +, -\ldots$, perquè és $(a + (-b))^n$ i les potències senars de $-b$ són negatives.

23. 23.Com comptes els casos d'«almenys un»?

    Pel complementari: comptes tots els casos possibles i hi restes els que no en tenen cap.

24. 24.Com comptes ordenacions en què dos elements han d'anar junts?

    Tractes els dos com un sol bloc, ordenes els blocs i ho multipliques per $2!$, les maneres d'ordenar els dos dins del bloc.

Altres flashcards de Matemàtiques 4t ESO

• Nombres reals
• Polinomis
• Equacions i sistemes
• Successions i progressions
• Funcions
• Trigonometria
• Geometria analítica
• Estadística bidimensional
• Probabilitat
• Inequacions i sistemes d'inequacions
• Semblança i teorema de Tales
• Funcions elementals

Següent tema: Funcions elementals →