Flashcards: Semblança i teorema de Tales

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1.Quan són semblants dues figures?

   Quan tenen la mateixa forma: els angles corresponents són iguals i els costats corresponents són proporcionals.

2. 2.Què és la raó de semblança $k$?

   El quocient entre una longitud de la figura nova i la corresponent de l'original, $k = \dfrac{a'}{a}$. Si $k > 1$ és una ampliació; si $k < 1$, una reducció.

3. 3.Dues figures semblants amb raó $k$: per quant es multiplica el perímetre?

   També $k$: el perímetre és una longitud, així que es multiplica pel mateix factor que els costats.

4. 4.Quina relació hi ha entre la raó de semblança $k$ i la raó entre les àrees?

   $k^2$. Si dobles els costats, l'àrea es multiplica per 4.

5. 5.Amplies un cos amb raó $k$. Quantes vegades més gran és el volum?

   $k^3$. També val per a capacitats: el que hi cap dins d'un recipient semblant es multiplica per $k^3$.

6. 6.Error típic: si dupliques les arestes d'un cub, el volum es duplica?

   No. El volum es multiplica per $2^3 = 8$. Només les longituds es multipliquen per 2.

7. 7.Coneixes la raó entre les àrees de dues figures semblants. Com obtens la raó de semblança?

   Fas l'arrel quadrada: $k = \sqrt{\dfrac{A'}{A}}$. Per als volums, faries l'arrel cúbica.

8. 8.Una fotocòpia al $p\ \%$: quina raó de semblança té?

   $k = \dfrac{p}{100}$. Al $150\ \%$, $k = 1{,}5$, i l'àrea queda multiplicada per $k^2$, no per $k$.

9. 9.Què vol dir una escala $1 : n$ en un mapa o plànol?

   Que 1 unitat del mapa correspon a $n$ unitats reals. Distància real = distància al mapa $\cdot\ n$, amb les mateixes unitats.

10. 10.Com trobes l'escala si coneixes una distància al mapa i la real?

    Passes les dues a la mateixa unitat i divideixes la real entre la del mapa: aquest quocient és el $n$ de l'escala $1 : n$.

11. 11.En un plànol a escala $1 : n$, com passes d'una àrea del plànol a l'àrea real?

    Multiplicant per $n^2$, no per $n$. I un volum d'una maqueta, per $n^3$.

12. 12.Quants angles iguals necessites per saber que dos triangles són semblants?

    Dos. Si dos triangles tenen dos angles iguals, són semblants. El tercer és igual per força, perquè els tres angles sumen $180^\circ$.

13. 13.Criteri de semblança de triangles amb els costats.

    Són semblants si els tres costats són proporcionals: $\dfrac{a'}{a} = \dfrac{b'}{b} = \dfrac{c'}{c}$. Compara el petit amb el petit, el mitjà amb el mitjà i el gran amb el gran.

14. 14.Criteri de semblança amb un angle i dos costats.

    Són semblants si tenen un angle igual i els dos costats que el formen són proporcionals.

15. 15.Quins polígons són sempre semblants entre ells?

    Els polígons regulars amb el mateix nombre de costats: tots els quadrats, tots els triangles equilàters… Dos rectangles o dos triangles isòsceles qualssevol, no necessàriament.

16. 16.Enuncia el teorema de Tales.

    Si tres o més rectes paral·leles tallen dues rectes transversals, els segments que determinen en una són proporcionals als corresponents de l'altra: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a'}{b'}$.

17. 17.Què són dos triangles en posició de Tales?

    Quan una recta paral·lela a un costat d'un triangle talla els altres dos costats, forma un triangle més petit que comparteix un vèrtex amb el gran. Els dos triangles són semblants.

18. 18.Triangle $ABC$ amb $DE$ paral·lela a $BC$: quines proporcions pots escriure?

    $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$, i també $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$.

19. 19.Error típic: per calcular $BC$ en posició de Tales, fer $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{DB}$.

    Incorrecte. $DE$ i $BC$ són costats dels dos triangles semblants, així que cal comparar-los amb costats sencers: $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB}$.

20. 20.Com pots demostrar que $DE$ és paral·lela a $BC$ en un triangle $ABC$?

    Amb el recíproc de Tales: si $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$, aleshores $DE$ és paral·lela a $BC$.

21. 21.Per què pots calcular l'alçada d'un arbre amb la seva ombra i la d'un pal?

    Al mateix moment els raigs de sol són paral·lels: cada objecte, la seva ombra i el raig formen un triangle, i els dos triangles són semblants. $\dfrac{h}{\text{ombra}} = \dfrac{h'}{\text{ombra}'}$.

22. 22.En el mètode del mirall per mesurar alçades, per què els triangles són semblants?

    Perquè l'angle amb què arriba la llum al mirall és igual al de sortida i tots dos triangles tenen un angle recte: dos angles iguals.

23. 23.Com reparteixes un segment en parts proporcionals a uns nombres?

    Divideixes la longitud entre la suma dels nombres i multipliques per cada nombre. Gràficament es fa amb Tales: segments auxiliars i rectes paral·leles.

Altres flashcards de Matemàtiques 4t ESO

• Nombres reals
• Polinomis
• Equacions i sistemes
• Successions i progressions
• Funcions
• Trigonometria
• Geometria analítica
• Estadística bidimensional
• Probabilitat
• Inequacions i sistemes d'inequacions
• Combinatòria
• Funcions elementals

Següent tema: Combinatòria →