Flashcards: Successions i progressions

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1.Què és una successió i què vol dir $a_n$?

   Una llista ordenada de nombres. Cada nombre és un terme, i $a_n$ és el terme que ocupa el lloc $n$.

2. 2.Què és el terme general d'una successió?

   La fórmula $a_n$ que dona el terme del lloc $n$ sense haver de calcular els anteriors.

3. 3.Error típic: si $a_n = 2n + 1$, quant val $a_5$? Val 5?

   No: 5 és la posició. El valor surt de substituir $n = 5$: $a_5 = 11$.

4. 4.Què és una successió recurrent?

   Una en què cada terme es calcula a partir dels anteriors. Per exemple, la de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, on cada terme és la suma dels dos d'abans.

5. 5.La successió 1, 4, 9, 16 és una progressió aritmètica o geomètrica?

   Cap de les dues: les diferències (3, 5, 7) i els quocients canvien. És la dels quadrats, $a_n = n^{2}$.

6. 6.Què és una progressió aritmètica?

   Una successió en què passes d'un terme al següent sumant sempre el mateix nombre, la diferència $d = a_2 - a_1$.

7. 7.Terme general d'una progressió aritmètica?

   $a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$. Hi va $n - 1$ perquè del terme 1 al terme $n$ només fas $n - 1$ salts.

8. 8.Com trobes la diferència si coneixes dos termes no consecutius, com $a_3$ i $a_8$?

   Entre tots dos hi ha 5 salts, per tant $d = \dfrac{a_8 - a_3}{5}$.

9. 9.Què vol dir que una progressió aritmètica tingui la diferència negativa?

   Que és decreixent: cada terme és més petit que l'anterior. Per exemple, 20, 17, 14 té $d = -3$.

10. 10.Suma dels $n$ primers termes d'una progressió aritmètica?

    $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}$: el primer més l'últim, pel nombre de termes, dividit per dos. Si no tens $a_n$, calcula'l primer.

11. 11.Quant sumen els $n$ primers nombres senars?

    $n^{2}$. Per exemple, $1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}$.

12. 12.Quan diem que una successió és una progressió geomètrica?

    Quan cada terme s'obté multiplicant l'anterior per un nombre fix, la raó, que trobes dividint dos termes consecutius: $r = \dfrac{a_2}{a_1}$.

13. 13.Com s'escriu el terme general si la progressió és geomètrica?

    $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$. L'exponent és $n - 1$: el primer terme porta $r^{0} = 1$.

14. 14.Error típic: a 2, 6, 18 la diferència no és constant. Vol dir que no és una progressió?

    No: és geomètrica. Per trobar la raó has de dividir, no restar: $r = 3$.

15. 15.Què passa en una progressió geomètrica amb la raó negativa?

    Els signes dels termes s'alternen. Per exemple, 3, $-6$, 12, $-24$ té $r = -2$.

16. 16.Suma dels $n$ primers termes d'una progressió geomètrica?

    $S_n = a_1\cdot\dfrac{r^{n} - 1}{r - 1}$, sempre que $r \neq 1$.

17. 17.Suma de tots els termes d'una progressió geomètrica: quan existeix i quant val?

    Només si $|r| < 1$, perquè els termes es fan cada cop més petits. Val $S = \dfrac{a_1}{1 - r}$.

18. 18.Quin és el factor de creixement per pujar o baixar un percentatge?

    Per pujar, $1 + i$; per baixar, $1 - i$, amb $i$ el tant per u. Pujar un 3 % és multiplicar per $1{,}03$, no per $1{,}3$.

19. 19.Fórmula de l'interès compost?

    $C_n = C_0\cdot(1 + i)^{n}$: $C_0$ és el capital inicial, $i$ el tant per u d'interès per període i $n$ el nombre de períodes.

20. 20.Per què l'interès compost fa créixer més els diners que cobrar sempre el mateix interès?

    Perquè els interessos s'afegeixen al capital i també generen interessos: cada període es calcula sobre el que hi ha, no sobre l'inicial.

21. 21.Error típic: pujar un 10 % dos anys seguits és pujar un 20 %?

    No. És multiplicar per $1{,}1^{2} = 1{,}21$: una pujada del 21 %.

22. 22.Pujar un 20 % i després baixar un 20 % es compensen?

    No. És multiplicar per $1{,}2\cdot 0{,}8 = 0{,}96$: perds un 4 %.

Altres flashcards de Matemàtiques 4t ESO

• Nombres reals
• Polinomis
• Equacions i sistemes
• Funcions
• Trigonometria
• Geometria analítica
• Estadística bidimensional
• Probabilitat
• Inequacions i sistemes d'inequacions
• Semblança i teorema de Tales
• Combinatòria
• Funcions elementals

Següent tema: Funcions →