Exercicis de circuits de corrent continu — Tecnologia i Enginyeria 1r Batxillerat

Tensió en volts (V), intensitat en amperes (A) i resistència en ohms (Ω).

P = V·I; P = $I^{2}$·R; P = $\tfrac{V^{2}}{R}$.

La suma dels corrents que entren en un nus és igual a la suma dels que en surten.

Apliquem la llei d'Ohm: I = V/R = 9/220 = 0,0409 A.
Passem a mil·liamperes (1 A = 1000 mA): I = 40,9 mA.

De P = V·I aïllem el corrent: I = P/V = 2300/230 = 10 A.
Per la llei d'Ohm: R = V/I = 230/10 = 23 Ω.
Comprovació: P = I²·R = 10²·23 = 2300 W.

En paral·lel se sumen les inverses: 1/R_eq = 1/6 + 1/12 + 1/12 = 2/12 + 1/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3.
Per tant R_eq = 3 Ω.
Comprovació: és menor que la més petita de les tres (6 Ω), com ha de ser en paral·lel.

Passem el temps a hores: 45 min = 0,75 h.
Energia: E = P·t = 2 kW · 0,75 h = 1,5 kWh.
Cost: 1,5 kWh · 0,20 €/kWh = 0,30 €.

(a) 0,35 A · 1000 = 350 mA.
(b) 4,7 kΩ · 1000 = 4700 Ω.
(c) 2500 mV / 1000 = 2,5 V.
(d) 0,25 MΩ · 1000 = 250 kΩ.
Recorda: m (mili) = $10^{-3}$, k (quilo) = $10^{3}$ i M (mega) = $10^{6}$.

La primera part és certa: les branques d'un circuit en paral·lel estan connectades als mateixos dos punts, així que tenen la mateixa tensió.
La segona part és falsa: per la llei d'Ohm, I = $\tfrac{V}{R}$, i amb la mateixa V el corrent és inversament proporcional a la resistència; en passa menys pel receptor de més resistència.
L'afirmació, en conjunt, és falsa.

Fem servir R = ρ·L/S.
R = 0,017 · $\tfrac{50}{1{,}5} = 0{,}567$ Ω ≈ 0,57 Ω.
Si dobléssim la longitud la resistència també es doblaria, i si dobléssim la secció es reduiria a la meitat.

Req = 10 + 20 + 30 = 60 Ω.

Dues iguals en paral·lel donen R/2 = 100/2 = 50 Ω.

P = 0,1 kW; E = P·t = 0,1 × 5 = 0,5 kWh al dia.

9 = 3 + 4 + V₃ → V₃ = 9 − 7 = 2 V.

Resistència total: R = 10 + 30 = 40 Ω.
Corrent (és el mateix a totes dues): I = V/R = 24/40 = 0,6 A.
Tensions: V₁ = I·R₁ = 6 V i V₂ = I·R₂ = 18 V.
Potència total: P = V·I = 24 · 0,6 = 14,4 W.
Comprovació: 6 + 18 = 24 V.

R_eq = (20·30)/(20+30) = 600/50 = 12 Ω.
Corrent total: I = V/R_eq = 12/12 = 1,0 A.
Branques (totes dues a 12 V): I₁ = 12/20 = 0,6 A i I₂ = 12/30 = 0,4 A.
Comprovació: 0,6 + 0,4 = 1,0 A, igual que el corrent total (llei de nusos).

Primer, el paral·lel: R₂₃ = (20·30)/(20+30) = 12 Ω.
Resistència total: R = 8 + 12 = 20 Ω, i el corrent de la font és I = 40/20 = 2,0 A; aquest és també el corrent per R₁.
Tensió al paral·lel: V₂₃ = I·R₂₃ = 2,0 · 12 = 24 V.
I₂ = 24/20 = 1,2 A i I₃ = 24/30 = 0,8 A.
Comprovació: 1,2 + 0,8 = 2,0 A.

(a) $V_{out}$ = V·$\tfrac{R_{2}}{(R_{1}+R_{2})} = 12$·$\tfrac{3000}{4000} = 9$ V.
(b) La càrrega en paral·lel amb $R_{2}$ dona 3000·$\tfrac{3000}{6000} = 1500$ Ω.
Ara $V_{out}$ = 12·$\tfrac{1500}{(1000+1500)} = 7{,}2$ V.
La càrrega fa baixar la tensió de sortida: un divisor només és fiable si la càrrega és molt més gran que $R_{2}$.

Calor: Q = m·c·ΔT = 50 · 4180 · (55 - 15) = 8360000 J.
L'escalfador subministra energia a raó de 2000 J cada segon (efecte Joule), així que t = Q/P = 8360000/2000 = 4180 s.
En minuts: 69,7 min, uns 70 minuts.
A la pràctica tardaria una mica més, perquè sempre hi ha pèrdues de calor.

Corrent: I = P/V = 36/12 = 3 A.
Durada: t = capacitat/corrent = 60 Ah / 3 A = 20 h.
Energia: E = V·capacitat = 12 V · 60 Ah = 720 Wh = 0,72 kWh.
Comprovació: P·t = 36 W · 20 h = 720 Wh, el mateix valor.

Llei de malles: la suma de caigudes de tensió és igual a la tensió de la font: 20 = 5 + 8 + V₃, per tant V₃ = 7 V.
Per la llei d'Ohm, amb I = 0,5 A: R₁ = 5/0,5 = 10 Ω; R₂ = 8/0,5 = 16 Ω; R₃ = 7/0,5 = 14 Ω.
Comprovació: R_total = 40 Ω i 20/0,5 = 40 Ω.

Resistències: $\tfrac{2}{0{,}1} = 20$ Ω; $\tfrac{4}{0{,}2} = 20$ Ω; $\tfrac{6}{0{,}3} = 20$ Ω; $\tfrac{8}{0{,}35} \approx 22{,}9$ Ω.
Fins a 6 V és constant, i la llei d'Ohm es compleix. A 8 V la resistència puja: el filament s'escalfa molt, i la resistència dels metalls augmenta amb la temperatura. La llei d'Ohm només val si la temperatura no canvia gaire.

(a) Diferència de potència: 52 W. Hores a l'any: 4 · 365 = 1.460. Energia estalviada: 0,052 · 1460 ≈ 75,92 kWh. Diners: 75,92 · 0,18 ≈ 13,67 €.
(b) $\tfrac{5}{13{,}67} \approx 0{,}37$ anys, uns 4,4 mesos.

Per la llei dels nusos, la suma dels corrents que entren és igual a la suma dels que surten: 4 = 1,5 + I₃ → I₃ = 4 − 1,5 = 2,5 A.

(a) I = P/V = 3000/230 = 13,04 A.
(b) La longitud total de conductor és 2·20 = 40 m: R = ρ·L/S = 0,017·40/1,5 = 0,453 Ω.
(c) Caiguda de tensió: ΔV = I·R = 13,04·0,453 = 5,91 V, que és el 2,6 % de 230 V.
(d) Potència perduda per efecte Joule: P = I²·R = 13,04²·0,453 = 77 W.
Conclusió: les pèrdues són moderades, però augmentarien amb un cable més llarg o més prim.

(a) I = P/V: planxa 7,83 A; microones 5,22 A; torradora 3,48 A. En paral·lel els corrents se sumen: I_total = 3800/230 = 16,52 A.
(b) 16,52 A és més gran que 16 A, per tant el magnetotèrmic acabarà saltant per sobrecàrrega (no al moment, sinó al cap d'un temps).
(c) P_màx = V·I = 230·16 = 3680 W. Per sota d'aquesta potència el circuit funciona sense problemes.
Solució pràctica: no usar els tres aparells alhora o repartir-los en dos circuits.

(a) R₂₃ = (12·4)/(12+4) = 3 Ω; R_total = 6 + 3 = 9 Ω; I = 18/9 = 2 A.
(b) R₁: I = 2 A i V₁ = 12 V. Paral·lel: V₂₃ = 18 - 12 = 6 V; I₂ = 6/12 = 0,5 A i I₃ = 6/4 = 1,5 A.
(c) P₁ = V₁·I = 24 W; P₂ = 6·0,5 = 3 W; P₃ = 6·1,5 = 9 W. Suma: 36 W.
Font: P = 18·2 = 36 W. Coincideixen: tota l'energia que dona la font es dissipa a les resistències.

(a) Sigui R₁ = R i R₂ = 2R. 1/R_eq = 1/R + 1/(2R) = 3/(2R) = 1/4, d'on 2R = 12 i R = 6 Ω. Per tant, R₁ = 6 Ω i R₂ = 12 Ω.
Comprovació: (6·12)/(6+12) = 72/18 = 4 Ω.
(b) I₁ = 24/6 = 4 A i I₂ = 24/12 = 2 A; corrent total 6 A.
Potència total: P = V·I = 24·6 = 144 W (o P = V²/R_eq = 576/4 = 144 W).

(a) I = P/V = 23/230 = 0,1 A (el mateix per a totes). Tensió per bombeta: 230/50 = 4,6 V. Potència per bombeta: 23/50 = 0,46 W. Resistència: R = V/I = 4,6/0,1 = 46 Ω.
(b) Ara en queden 49 en sèrie: R_total = 49·46 = 2254 Ω. I = 230/2254 = 0,102 A i P = 230·0,102 = 23,5 W.
Cada bombeta té ara 230/49 = 4,69 V, una mica més que els 4,6 V nominals: brillen més i s'escalfen més, de manera que n'augmenta el risc de fondre's.

(a) E = capacitat·V = 4 Ah·3,7 V = 14,8 Wh.
(b) Potència del carregador: P = 5·2 = 10 W; potència útil: 10·0,80 = 8 W. t = 14,8/8 = 1,85 h ≈ 111 min.
(c) Energia de la xarxa: 10 W·1,85 h = 18,5 Wh = 0,0185 kWh. Cost d'una càrrega: 0,0185·0,20 = 0,0037 € (menys d'1 cèntim).
En un any: 0,0037·365 = 1,35 €.
Les pèrdues del carregador són l'energia que no arriba a la bateria: 3,7 Wh per càrrega.