Exercicis d'estructures i resistència de materials — Tecnologia i Enginyeria 1r Batxillerat

M = F·d; es mesura en N·m (newton per metre).

σ = $\tfrac{F}{S}$, on F és la força i S la secció (àrea). Es mesura en Pa o N/mm² (MPa).

σ = F/S = 4000/100 = 40 N/mm², és a dir, 40 MPa.

(a) Tracció: les forces tendeixen a estirar la corda.
(b) Compressió: les forces tendeixen a aixafar la columna.
(c) Flexió: el trampolí es doblega.
(d) Torsió: es fa girar el tornavís al voltant del seu eix.
(e) Tall o cisallament: dues forces properes i de sentit contrari tallen el paper.

M = F · d = 50 N · 0,4 m = 20 N·m.
La distància s'ha de mesurar perpendicularment a la força i des del punt de gir.

(1) pilar → (a).
(2) biga → (b).
(3) tirant → (c): és un cable o una barra que s'estira, com els del pont penjat.
(4) arc → (d).

Passem la secció a mm²: 20 cm² = 20 · 100 = 2000 mm². La força és 50 kN = 50000 N.
σ = F/S = 50000 / 2000 = 25 N/mm² = 25 MPa.
En pascals: 25 MPa = 25 · 10⁶ Pa.
Error típic: oblidar que 1 cm² són 100 mm² (i no 10).

Equilibri de moments: F₁ · d₁ = F₂ · d₂.
300 · 1,2 = F₂ · 1,8, d'on 360 = 1,8 · F₂.
F₂ = 360 / 1,8 = 200 N.
El pes més lluny del punt de gir pot ser més petit.

Coeficient de seguretat = tensió de ruptura / tensió de treball.
n = 240 / 60 = 4.
Això vol dir que la barra podria aguantar quatre vegades la càrrega actual abans de trencar-se.

Una estructura és estable si la vertical del centre de gravetat cau dins de la base de suport.
Una base ampla fa que això passi encara que l'estructura s'inclini una mica, i amb el pes concentrat a baix el centre de gravetat és baix. Així cal un moment bolcador molt gran perquè bolqui, per exemple per la força del vent.

Perquè és indeformable: no es pot canviar la seva forma sense variar la longitud dels costats, cosa que dona rigidesa a l'estructura.

Que la suma de forces sigui zero (no es desplaça) i que la suma de moments sigui zero (no gira).

Perquè amb menys secció la mateixa força dona més tensió (σ = $\tfrac{F}{S}$); si la secció és petita, σ és gran i pot superar la resistència del material.

Perquè hi ha imprevistos (sobrecàrregues, defectes, corrosió, fatiga). El coeficient de seguretat fa treballar per sota del límit perquè la peça no trenqui davant d'aquests marges.

Moments respecte a A (el sentit antihorari és positiu per a R_B): R_B · 6 - 1200 · 2 = 0.
R_B = 2400 / 6 = 400 N.
Equilibri de forces: R_A + R_B = 1200, d'on R_A = 1200 - 400 = 800 N.
Comprovació: el suport més proper a la càrrega en suporta la major part (800 N).

(a) Càrrega total = 500 N/m · 4 m = 2000 N, equivalent a una força que actua al centre de la biga.
(b) Per simetria, cada suport aguanta la meitat: $\tfrac{2000}{2} = 1000$ N.
(c) $M_{màx}$ = 500 · $\tfrac{4^{2}}{8} = 1000$ N·m.
Comprovació: moment al centre = 1000 N · 2 m - (500 · 2 N) · 1 m = 2000 - 1000 = 1000 N·m.

(a) Càrrega admissible = càrrega de ruptura / coeficient de seguretat = 24 / 4 = 6 kN.
(b) Una caixa de 150 kg pesa 150 · 9,8 = 1470 N. 6000 / 1470 = 4,08: com a màxim 4 caixes (5880 N).
Comprovació: 4 caixes = 5880 N < 6000 N; 5 caixes = 7350 N > 6000 N, superaria la càrrega admissible.

Secció: 300 mm · 300 mm = 90000 mm². Força: 360 kN = 360000 N.
σ = F/S = 360000 / 90000 = 4 MPa.
Coeficient de seguretat = 25 / 4 = 6,25.
La tensió és molt inferior a la resistència: el pilar treballa amb un marge ampli.

El vinclament és una deformació brusca i lateral (es corba) d'una barra llarga i esvelta sotmesa a compressió, que es produeix amb una càrrega més petita que la que trencaria el material per aixafament.
Passa perquè, com més llarga i prima és la barra, menys rígida és davant d'un petit desviament lateral.
Es pot evitar escurçant la longitud lliure (amb arriostraments o travessers intermedis), augmentant la secció o fent servir perfils tubulars o amb més inèrcia.

Nombre de barres necessàries: b = 2 · 7 - 3 = 11.
L'estructura en té 12, una més del necessari. Per tant és hiperestàtica: la rigidesa està assegurada, però hi ha una barra redundant (de més).
Si en tingués menys de 11, seria un mecanisme (es deformaria sense variar la longitud de les barres).

Flexa menys posada de cantell, és a dir, amb la dimensió de 30 mm en vertical.
La resistència a la flexió depèn sobretot de l'alçada del perfil: com més material hi ha allunyat de la línia neutra, més gran és el moment d'inèrcia (I = b · $\tfrac{h^{3}}{12}$) i menys es doblega.
Això explica per què les bigues i les prestatgeries es col·loquen amb la cara llarga en vertical.

Prestatge: flexió (es corba entre els suports, comprimit per dalt i estirat per baix).
Escaire: la part horitzontal treballa a flexió, i la vertical tendeix a separar-se de la paret per dalt.
Cargols: els de dalt, a tracció (el pes tendeix a arrencar-los de la paret), i tots, a tallant (el pes tendeix a tallar-los arran de la paret).

El pont es comporta com una biga que es corba cap avall: la part de dalt s'escurça (compressió) i la de baix s'estira (tracció).
Una barra comprimida pot vinclar (doblegar-se de cop) molt abans d'arribar a trencar-se per compressió; per evitar-ho, es fa més gruixuda o amb perfil. Una barra a tracció no té aquest problema i pot ser més prima, fins i tot un cable.

Secció: S = π·r² = π · (0,005 m)² ≈ 7,85·10⁻⁵ m². Tensió real: σ = F/S = 5.000 / 7,85·10⁻⁵ ≈ 63,7·10⁶ Pa ≈ 63,7 MPa. Com que 63,7 MPa > 60 MPa (la resistència admissible), la secció NO és suficient: la barra treballa per sobre del límit admissible i caldria una secció més gran.

(a) Moments respecte a A: $R_{B}$ · 8 = 2 · 2 + 3 · 6 = 22, d'on $R_{B}$ = 2,75 kN. $R_{A}$ = 5 - 2,75 = 2,25 kN.
(b) Sota la càrrega de 2 kN (x = 2 m): M = $R_{A}$ · 2 = 4,5 kN·m. Sota la de 3 kN, mirant des de B: M = $R_{B}$ · 2 = 5,5 kN·m.
(c) El moment màxim és de 5,5 kN·m i es produeix sota la càrrega de 3 kN, a 6 m de A.
Comprovació des de A: M(6) = 2,25 · 6 - 2 · 4 = 13,5 - 8 = 5,5 kN·m.

(a) Equilibri vertical: 2 · T · sin 30° = 200, d'on T = 200 / (2 · 0,5) = 200 N.
(b) σ = T / S = 200 N / 2 mm² = 100 MPa; n = 400 / 100 = 4.
(c) T = 200 / (2 · sin 10°) = 200 / 0,347 = 576 N: la tensió es multiplica per prop de 3.
Conclusió: com més horitzontal és el cable, més gran és la tensió que cal suportar; per això un cable molt tibat és molt més exigit que un de penjant.

(a) La component vertical del tirant ha de suportar la càrrega: T · sin 30° = 5, d'on T = 5 / 0,5 = 10 kN (tracció).
(b) La component horitzontal del tirant empeny el braç: C = T · cos 30° = 10 · 0,866 = 8,66 kN (compressió).
(c) S = π · 5² = 78,5 mm². σ = 10000 / 78,5 = 127 MPa.
El tirant és molt més carregat que la càrrega penjada, perquè treballa de forma inclinada.

(a) Moment bolcador = 150 · 1,6 = 240 N·m. Moment estabilitzador = pes · (meitat de la base) = 600 · 0,25 = 150 N·m.
(b) Com que 240 > 150, bolca.
(c) F · 1,6 = 150, d'on F = 150 / 1,6 = 93,75 N.
(d) 150 · h = 150, d'on h = 1,0 m: empenyent per sota d'1 m no bolcaria.
Per això els armaris alts i estrets s'han de fixar a la paret.

(a) σ_adm = 24 / 3 = 8 MPa.
(b) S_mín = F / σ_adm = 20000 N / 8 N/mm² = 2500 mm².
(c) π · d² / 4 = 2500, d'on d = √(4 · 2500 / π) = 56,4 mm; en la pràctica, 60 mm.
(d) a² = 2500, d'on a = 50 mm.
A la pràctica, s'hauria de comprovar també que no vincla si el pilar és llarg.

Pont penjat: els cables principals i els tirants verticals (pèndols) treballen a tracció, i les torres i el tauler treballen a compressió (i el tauler una mica a flexió). Va bé per a llums molt grans perquè els cables d'acer suporten molta tracció amb poc pes.
Pont d'arc: l'arc transmet les càrregues als estreps treballant sobretot a compressió; si és de pedra o formigó, material que resisteix bé la compressió i malament la tracció, és molt adequat per a llums mitjanes.
Els tirants i els cables s'aprofiten més amb acer i els arcs amb pedra o formigó: la forma de l'estructura s'adapta al que resisteix cada material.