Exercicis de màquines i mecanismes — Tecnologia i Enginyeria 1r Batxillerat

i = 10/30 = 1/3. El conduït gira tres vegades més a poc a poc: és reductor.

La lleva i seguidor: la lleva, en girar, empeny el seguidor amunt i avall.

P = M·ω (parell per velocitat angular); es mesura en watts.

Transmissió (circular → circular): engranatges, politges amb corretja i cadena amb pinyons.
Transformació (circular ↔ rectilini): biela-manovella, cremallera-pinyó i lleva amb seguidor.

Primer gènere: el fulcre és entre la força i la resistència (unes alicates; també un balancí).
Segon gènere: la resistència és entre el fulcre i la força (un carretó: el fulcre és la roda, la càrrega és al mig i la força s'aplica als mànecs). Sempre guanya força.
Tercer gènere: la força és entre el fulcre i la resistència (una pinça de cella). Guanya velocitat i precisió, però no força.

Llei de la palanca: F · b_F = R · b_R.
80 · 1,5 = R · 0,3, d'on R = 120 / 0,3 = 400 N.
La palanca multiplica la força per 5 (1,5 / 0,3), però la resistència es desplaça 5 vegades menys que la mà.

i = z_motriu / z_conduïda = 1/4, per tant z_conduïda = 4 · z_motriu.
z_conduïda = 4 · 12 = 48 dents.
És un reductor: la roda conduïda gira 4 vegades més a poc a poc que el pinyó.

P = M · ω, per tant M = $\tfrac{P}{\omega}$.
M = 100 $\tfrac{W}{50}$ rad/s = 2 N·m.

Una volta són 2π rad i un minut són 60 s.
ω = 300 · 2π / 60 = 10π rad/s = 31,4 rad/s.
Regla útil: per passar de rpm a rad/s, es multiplica per $\tfrac{\pi}{30}$.

Transforma un moviment circular continu (manovella) en un moviment rectilini alternatiu (el del pistó o de l'èmbol), i també al revés.
Exemple: en un motor de combustió, la combustió empeny el pistó amb moviment rectilini i la biela i el cigonyal (la manovella) el converteixen en la rotació que mou el cotxe. També es troba en les màquines de cosir i en les locomotores de vapor.

N₂ = N₁·z₁/z₂ = 600·15/45 = 9000/45 = 200 rpm.

N₁·D₁ = N₂·D₂ → 400·10 = N₂·25 → N₂ = 4000/25 = 160 rpm.

N₁·z₁ = N₂·z₂ → 300 × 20 = N₂ × 60 → N₂ = 6.000/60 = 100 rpm.

El cargol-femella (vis sens fi), com el gat del cotxe o el cargol de banc.

Etapa 1: i₁ = 12/36 = 1/3. Etapa 2: i₂ = 15/45 = 1/3.
Relació total = i₁ · i₂ = 1/9.
n_sortida = 900 · 1/9 = 100 rpm.
Les dues rodes que comparteixen eix giren a la mateixa velocitat (36 dents i pinyó de 15 dents).

Velocitat de la roda: n = 60 · $\tfrac{48}{16} = 180$ rpm.
Cada volta avança π · D = π · 0,66 = 2,07 m. En un minut: 373 m.
Velocitat = 373 m/min · $\tfrac{60}{1000} = 22{,}4$ km/h.
Comprovació: 22 km/h és una velocitat raonable per a un ciclista de passeig.

Equilibri de moments respecte a l'eix de la roda: F · 1,2 = 600 · 0,4.
F = 240 / 1,2 = 200 N.
Avantatge mecànic = R / F = 600 / 200 = 3: l'operari només ha d'aguantar un terç del pes de la càrrega.

(a) F = P / 4 = 800 / 4 = 200 N.
(b) Per cada metre que puja la càrrega, cal estirar 4 m de corda. Per 0,5 m: 4 · 0,5 = 2 m.
El que es guanya en força es perd en recorregut: el treball és el mateix (200 N · 2 m = 800 N · 0,5 m = 400 J).

(a) P_sortida = 0,80 · 750 = 600 W.
(b) M_sortida = P / ω = 600 / 20 = 30 N·m.
(c) ω_entrada = 1500 · 2π / 60 = 157,1 rad/s; M_entrada = 750 / 157,1 = 4,77 N·m.
El parell de sortida és unes 6 vegades més gran que el d'entrada (30 / 4,77), perquè la velocitat disminueix.

Cada volta, el pinyó fa avançar 12 dents: 12 · 6 mm = 72 mm.
En un minut: 50 · 72 = 3600 mm.
Velocitat = 3600 mm / 60 s = 60 mm/s.

La cursa és la distància entre els dos punts extrems de la trajectòria: 2 · radi = 2 · 5 = 10 cm = 0,10 m.
En cada volta, el pistó fa una anada i una tornada: 2 · 0,10 = 0,20 m.
Voltes per segon = 3000 / 60 = 50. Velocitat mitjana = 0,20 · 50 = 10 m/s.
La velocitat instantània no és constant: és nul·la als extrems.

Cada volta avança 2 mm: $\tfrac{50}{2} = 25$ voltes.
A 120 rpm: $\tfrac{25}{120}$ min = 12,5 s.
És un mecanisme lent i molt precís, i per això es fa servir en premses i torns.

Es conserva la potència: M₁·ω₁ = M₂·ω₂ → 2·100 = M₂·20 → M₂ = 200/20 = 10 N·m. En reduir la velocitat, el parell puja de 2 a 10 N·m.

ω = 2π·$\tfrac{N}{60} = 2$π × 1.500/60 ≈ 157,1 rad/s. P = M·ω = 8 × 157,1 ≈ 1.256,6 W.

(a) i = 1/3 · 1/4 = 1/12.
(b) n = 1500 / 12 = 125 rpm; ω = 125 · 2π / 60 = 13,09 rad/s.
(c) P = 0,90 · 500 = 450 W.
(d) M = P / ω = 450 / 13,09 = 34,4 N·m.
Comprovació: el parell d'entrada seria 500 / 157,08 = 3,18 N·m; 3,18 · 12 · 0,9 = 34,4 N·m.

(a) Relació total = 1/2 · 1/4 = 1/8; n = 3000 / 8 = 375 rpm.
(b) Cada volta avança π · 0,6 = 1,885 m; en un minut: 375 · 1,885 = 707 m; velocitat = 42,4 km/h.
(c) Sense pèrdues, M_rodes = 100 · 8 = 800 N·m (es divideix velocitat i es multiplica parell).
(d) F = M / radi = 800 / 0,3 = 2667 N.
Comprovació: potència a les rodes = 800 · (375 · 2π/60) = 31416 W = 100 · (3000 · 2π/60), la del motor.

(a) F · 0,40 = 200 · 0,10, d'on F = 20 / 0,40 = 50 N.
(b) 2 voltes del tambor: 2 · 2π · 0,10 = 1,26 m de corda.
(c) La mà descriu 2 · 2π · 0,40 = 5,03 m.
(d) Treball de la mà: 50 · 5,03 = 251 J. Treball per elevar el cubell: 200 · 1,26 = 251 J. Són iguals (sense pèrdues).
El torn és una palanca contínua: es guanya força a costa de recórrer més camí.

(a) i = 1/2 = 20 / z, per tant z = 40 dents.
(b) n = 3000 / 2 = 1500 rpm.
(c) 1500 voltes/min = 25 voltes/s, de manera que cada vàlvula s'obre 25 vegades per segon.
Això explica que les lleves i els seguidors estiguin sotmesos a un gran desgast i necessitin lubricació.

(a) n = 1440 · 6/18 = 480 rpm.
(b) n = 1440 · 12/12 = 1440 rpm: no hi ha reducció.
(c) D_conduïda = D_motriu · n_motor / n_sortida = 8 · 1440 / 720 = 16 cm.
(d) P = 0,85 · 600 = 510 W; ω = 480 · 2π / 60 = 50,3 rad/s; M = 510 / 50,3 = 10,1 N·m.
Per això s'usen velocitats baixes (i parell gran) per foradar acer, i velocitats altes per foradar fusta.

(a) Velocitat màxima: plat gran i pinyó petit, $\tfrac{48}{12} = 4$ voltes de roda per pedalada. Mínima: plat petit i pinyó gran, $\tfrac{28}{28} = 1$ volta de roda per pedalada.
(b) Màxima: 70 · 4 = 280 rpm de roda; 280 · π · 0,7 = 616 m/min = 36,9 km/h. Mínima: 70 · π · 0,7 = 154 m/min = 9,2 km/h.
(c) Amb la relació petita es redueix la velocitat de la roda i, com que la potència és la mateixa, el parell a la roda es multiplica: es necessita menys força als pedals per vèncer la pendent.